2.9 Магнитные цепи
Магнитные цепи – это магнитопроводы электрических машин, трансформаторов, электромагнитов и других устройств, выполняемые из ферромагнитных материалов. Участками магнитных цепей могут быть воздушные зазоры или прокладки из диамагнитных материалов. Магнитные потоки возбуждаются токами катушек, охватывающими отдельные участки магнитных цепей. В постоянных магнитах магнитные потоки возникают за счёт остаточной намагниченности.
Свойства магнитных цепей определяются кривыми намагничивания материалов В(Н), из которых они изготовлены. Из курса физики известно, что В(Н) – сложная нелинейная зависимость. В общем случае это так называемая петля гистерезиса. При постоянных потоках (токи катушек постоянны) в расчетах используются основные кривые намагничивания (рис.2.14), представляющие собой геометрическое место точек вершин симметричных частных петель гистерезиса.
Рис. 2.14
Эти зависимости приводятся в справочниках в виде кривых или таблиц.
Основные соотношения для магнитных цепей
В основу расчета магнитных цепей положен один из фундаментальных законов теории электромагнитного поля – закон полного тока в интегральной форме:
,
(2.21)
где
– вектор напряженности магнитного поля
в произвольной точке замкнутого контура
l;
– вектор элемента
контура в точке, направленный по
касательной к контуру;
– суммарный ток,
пронизывающий замкнутый контур «l».
Рассмотрим
одноконтурную магнитную систему,
состоящую из ферромагнитного сердечника
с прямолинейными участками разного
поперечного сечения (например, с тремя
участками) и воздушным зазором
(рис. 2.15), которая на одном из участков
обхвачена катушкой, имеющей W
витков, по которым протекает ток I.
Рис. 2.15
Нанесем в
магнитопроводе среднюю линию и будем
считать, что на первом участке (от точки
А до точки В) длиной (по средней линии)
поперечное сечение имеет размер
,
на втором (от точки В через С до D)
длина средней линии
,
а поперечное сечение имеет размер
,
на третьем участке (от D
до
и от
до А) длина средней линии равна
,
а поперечное сечение
и, наконец, на участке воздушного зазора
длиной δ
поперечное сечение
(при малой величине δ
считают, что весь магнитный поток
прилегающего участка проходит в воздухе
через сечение, равное сечению этого
участка, т.е. пренебрегают вытеснением
потока за пределы прилегающего участка).
Отметим, что воздушные зазоры вводятся в замкнутые магнитные системы для обеспечения линейности характеристик устройств (воздух имеет большое магнитное сопротивление).
Очевидно, что напряженность магнитного поля одинакова в пределах каждого участка средней линии, поэтому вместо (2.21) можно записать
или
.
(2.22)
Обобщая полученный результат, для произвольного контура магнитной цепи получим уравнение
,
(2.23)
где F = WI – намагничивающая или магнитодвижущая сила, измеряемая в амперах (ампервитках).
Ее направление определяется правилом правого винта (буравчика).
Произведение
в (2.23) рассматривается как разность
скалярных магнитных потенциалов или
падение магнитного напряжения на
коротком участке контура магнитной
цепи:
.
(2.24)
С учетом (2.24) уравнение (2.23) принимает вид:
(2.25)
и представляет собой аналог второго закона Кирхгофа для контура электрической цепи. Пользуясь такой аналогией, можно изобразить рассматриваемую магнитную цепь так, как показано на рис. 2.16.
Рис. 2.16
По аналогии с электрическими цепями можно записать закон Ома для любого участка цепи в виде
,
(2.26)
где
– магнитное сопротивление участка
магнитной цепи, нелинейно зависящее от
магнитного потока.
Магнитная индукция
и
напряженность магнитного поля
связаны
соотношением
,
(2.27)
где
– абсолютная магнитная проницаемость
магнитопровода (сердечника);
– относительная
магнитная проницаемость;
– магнитная
постоянная или магнитная проницаемость
вакуума.
В том случае, когда магнитная цепь имеет разветвление (рис. 2.17), дополнительно применяют интегральную форму выражения принципа непрерывности магнитного поля:
,
согласно которому поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Отсюда следует уравнение для узла магнитной цепи
.
(2.28)
Рис. 2.17
Выражение (2.28) можно рассматривать как первый закон Кирхгофа для магнитной цепи.
Таким образом, основными расчетными соотношениями при исследовании магнитных цепей являются (2.23), (2.24) и (2.28).
Закон Ома (2.26) используется редко из-за трудностей в определении . Магнитное сопротивление можно определить для участков воздушных зазоров, где имеем
,
.
Тогда магнитное сопротивление воздушного зазора равно
и имеет размерность
.
Особенности расчета неразветвленных магнитных цепей
Мы установили, что
неразветвленная магнитная цепь может
быть представлена эквивалентной
нелинейной электрической цепью (рис.
2.16), поэтому к ней применимы методы,
которые были использованы для расчета
нелинейной электрической цепи. Однако
практическая реализация расчета имеет
свои особенности. Обычно рассматриваются
две задачи: прямая и обратная. В обоих
случаях в качестве исходных данных
берутся основные кривые намагничивания
материалов, из которых изготовлен
магнитопровод (сердечник), конструктивные
параметры (размеры) и некоторые магнитные
или электрические величины.
Прямая задача
Задан магнитный поток и требуется найти соответствующую намагничивающую силу F.
Задача решается в следующем порядке. Сначала определяются значения магнитной индукции на участках:
.
Например, для цепи, изображенной на рис. 2.16, находим:
,
,
,
.
По кривой
определяем соответствующие участкам
значения напряженности магнитного поля
,
и
.
Вычислим напряженность магнитного поля
в воздушном зазоре по формуле
.
По формуле (2.23) вычисляем искомую величину
.
Далее по найденному значению F определяется ток, число витков и в конечном итоге – конструктивные параметры катушки.
Обратная задача
Задана намагничивающая сила F, требуется определить магнитный поток.
Эта задача сложная и требует большого объема вычислений. Для ее решения нужно несколько раз повторить решение прямой задачи, задавая произвольно (через определенные интервалы) значения магнитного потока и определяя соответствующие этим потокам значения намагничивающей силы F. По данным таких расчетов строят график зависимости Ф(F) (рис. 2.18), по которому определяют магнитный поток, соответствующий заданной намагничивающей силе.
Рис. 2.18
Особенности расчета разветвленной магнитной цепи
Пусть задана разветвленная магнитная цепь (рис.2.19).
Рис. 2.19
Расчетная схема такой цепи представлена на рис. 2.20.
Рис. 2.20
Прямая задача
Допустим, что задан
магнитный поток
.
Требуется определить значение силы F.
Задача решается в следующем порядке:
,
по кривой В(Н) находим
,
,
,
,
,
,
по В = f(H),
,
,
,
по В = f(H),
по второму закону Кирхгофа для левого
контура (см. рис. 2.20) находим:
.
Обратная задача
Задана намагничивающая сила F. Требуется определить магнитные потоки.
Для решения такой
задачи необходимо рассчитать и построить
графики зависимостей
,
и
.
Затем, пользуясь первым законом Кирхгофа,
найти связь между магнитными потоками,
которая в рассматриваемой задаче имеет
вид
.
Следует графически
решить это уравнение, т.е. найти точку
пересечения функции
с суммой функций
и
.
Эта точка определит значение
,
которое установится в цепи при заданной
намагничивающей силе, и соответствующие
ему магнитные потоки.
Для того, чтобы осуществить указанный алгоритм, по рис.2.20 запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из трех контуров, составленных из соответствующей ветви:
,
(2.29)
,
(2.30)
.
(2.31)
Используя значения соответствующих магнитных потоков по уравнениям (2.29), (2.30), (2.31) и кривую намагничивания, находим значения , соответствующие каждому заданному магнитному потоку, и строим необходимые графики.
Расчет кривых обычно проводят в форме алгоритмических таблиц, последовательное заполнение колонок которых и дает решение.
Для рассматриваемой задачи таблицы имеют следующий вид:
Таблица 2.1 Расчет зависимости
|
|
Кривая
намагничивания
|
|
|
Вб |
Тл |
А/м |
А |
А |
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 Расчет зависимости
|
|
Кривая
намагничивания
|
|
Вб |
Тл |
А/м |
А |
|
|
|
|
Таблица 2.3 Расчет зависимости
|
|
Кр. нам.
|
|
|
|
|
Вб |
Тл |
А/м |
А |
А/м |
А |
А |
|
|
|
|
|
|
|
Необходимые построения кривых и решение показаны на рис.2.21.
Рис. 2.21
Найденные значения , и удовлетворяют первому закону Кирхгофа и соответствуют установившемуся режиму данной магнитной цепи.
Если требуется оптимизировать рассматриваемое устройство по определенным критериям, то такие расчеты необходимо проводить многократно.