Краткая теория

Мостовая схема постоянного тока, часто называемая сокращенно мостиком Уитстона, представляет собой замкнутый четырехугольник, составленный из сопротивлений R₁, R₂, R₃ и R₄, соединенных между собой проводами (рис.1).

В одну их диагоналей этой схемы включается источник электродвижущей силы ε с внутренним сопротивлением R₅, а в другую – чувствительный гальванометр Г с внутренним сопротивлением R₆. При произвольном соотношении сопротивлений, составляющих всю мостовую схему, через гальванометр должен идти ток. Обозначим силы токов в шести ветвях схемы через J₁, J₂, J₃, J₄, J₅ и J₆. Покажем, что между сопротивлениями, составляющими схему, существует одно определенное соотношение, при котором сила тока, текущего через гальванометр, обращается в нуль, хотя при этом во всех других звеньях схемы она не равна нулю. Воспользуемся правилами Кирхгофа для постоянного тока.

Первое правило Кирхгофа относится к узлу, т.е. точке разветвления электрической цепи, где сходятся не менее трех токов. Оно гласит: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е.

.

Принято токам, входящим в узел, приписывать знак плюс, а выходящим – знак минус.

Второе правило Кирхгофа относится к произвольному замкнутому контуру, который мысленно выделяется в сложной разветвленной электрической цепи. Оно гласит: для любого замкнутого контура, произвольно выделенного в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре, т.е.

Следует заметить, что произведение силы тока на сопротивление данного участка цепи называется падением напряжения на данном участке.

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа токам и ЭДС нужно приписывать знаки в соответствии с выбранным направлением обхода контура (например, по часовой стрелке).

Ток, совпадающий с направлением обхода контура, считается положительным, не совпадающий – отрицательным.

ЭДС считается положительной, если она включена так, что дает ток, направление которого совпадает с направлением обхода контура.

Зададимся направлениями токов во всех участках схемы, как это показано на рис.1, и запишем первое правило Кирхгофа для всех четырех узлов разветвленной цепи:

т.А J₅ – J₁ – J₃ = 0, (1)

т.С J₂ + J₄ –J₅ = 0, (2)

т.В J₁ – J₂ – J₆ = 0, (3)

т.D J₃ + J₆ – J₄ = 0. (4)

Запишем теперь второе правило Кирхгофа для трех контуров схемы,

для контура ABD: J₁R₁ + J₆R₆ - J₃R₃ = 0, (5)

для контура BCD: J₂R₂ - J₄R₄ - J₆R₆ = 0, (6)

для контура εABCE: J₅R₅ + J₁R₁ + J₂R₂ = ε. (7)

Положим, что ток в диагонали BD моста равен нулю, т.е. J₆=0. Тогда из уравнений (3), (4), (5) и (6) получаем

J₁=J₂, (8)

J₃=J₄, (9)

J₁R₁=J₃R₃, (10)

J₂R₂=J₄R₄. (11)

Деля (10) на (11) и принимая во внимание равенства (8) и (9), находим:

. (12)

Из последнего соотношения (12) следует, что при известных величинах трех участвующих в схеме сопротивлений мы можем вычислить четвертое неизвестное нам сопротивление при условии, что ток через гальванометр не течет.

Практически сопротивления R₃ и R₄ выполняют в виде металлического проводника (реохорда), затянутого вдоль миллиметровой шкалы. Подвод тока от гальванометра этим сопротивлениям осуществляется с помощью контактного движка, скользящего вдоль реохорда и отделяющего R₃ от R₄.

Для R₃ и R₄ можно записать: и ,

где ρ – удельное сопротивление проволоки реохорда, и - длины плеч реохорда, S – сечение проволоки реохорда. Тогда отношение этих сопротивлений будет равно

а, используя соотношение (12), имеем

Окончательно неизвестное сопротивление (например, R₁) будет определяться по формуле:

или, если обозначить R₁=R_x, R₂=R_m, то . (13)

Легко видеть, что отношение в зависимости от положения движка изменяется от 0 до ∞, а это значит, что сопротивление R_x всегда может быть определено при произвольном R_m. Однако наименьшая погрешность измерений будет в том случае, когда движок будет находиться приблизительно на середине реохорда, т.е. при . Это достигается соответствующим подбором сопротивления R_m.

Так как сопротивление реохорда сравнительно невелико, то мостик Уитстона описанного типа применяется, как правило, для измерения небольших сопротивлений (от 1 до 1000 Ом).