От законов электромагнетизма – к свойствам элементов цепей.

По степени отклика на приложенное напряжение все элементы можно разделить на три группы: резистивные, индуктивные и ёмкостные сопротивления. Из закона Ома вытекает основная модель резистивного сопротивления R: . (6)

Закон электромагнитной индукции связывает падение напряжения с динамикой изменения тока через индуктивность L: (7)

Из определения электрической ёмкости С следует, что , откуда получим , или . (8)

Выражения (6), (7) и (8) представляют собой математические модели соответственно резистивного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений.

Пример 3.

1. Ток через индуктивность падает за с до равномерно. Найти падение напряжения на индуктивности.

Решение: В соответствии с (7) .

2. Напряжение на конденсаторе ёмкостью 10мкФ в начальный момент времени равно 10В. Чему будет равно напряжение через 0,05с, если ток будет равен 10 А . Обратим внимание, что падение напряжения будет зависеть от направления тока: при заряде он считается положительным, при разряде – отрицательным.

.

Рис.1. Векторная диаграмма для тока, описываемого выражением (1). Вектор вращается против часовой стрелки с частотой .

Гармонические колебания и функции комплексного переменного.

Как известно, выражение

(10)

может быть ассоциировано с, так называемой, векторной диаграммой (рис.1). Здесь вектор ОА символически изображает так называемый комплекс тока. Если этот вектор вращается относительно своего начала против часовой стрелки с угловой скоростью , и модуль этого вектора равен , то длина проекции вектора на ось действительных чисел совпадает с (10).

Теория функций комплексного переменного позволяет записать (10) в виде показательной функции

(11).

Известно, что выражение (11) можно записать также в виде (алгебраическая форма записи) и в виде .

Наконец, то же самое можно записать алгебраически:

(12),

где , .

Все приведённые четыре интерпретации гармонических процессов абсолютно идентичны, но при решении конкретных задач одна из них может значительно упрощать расчёты. Например, при выражении напряжения и комплексного сопротивления в колебательной форме ( и ) значительно проще найти ток ). Нужно только помнить, что физический смысл имеет лишь выражения вида (1), которые всегда можно выделить из любой вышеприведенной формы записи.

Пример 4.

Изобразить на векторной диаграмме положение векторов тока и напряжения на нагрузке Z, если , .

Решение:

Длина вектора равна 10В (в условно выбранном масштабе напряжений), начальная фаза .

Длина вектора равна 5А (в условно выбранном масштабе для токов), начальная фаза .

Комплексный характер сопротивления участка электрической цепи.

Сопротивление участка цепи может быть определено как коэффициент пропорциональности между током и падением напряжения на этом участке. (13). При использовании во время анализа комплексной формы представления для колебаний тока и напряжения, величина полного сопротивления этого участка также может получить комплексные значения. При этом, модуль комплексного сопротивления устанавливает пропорциональность между значениями тока и напряжения, а его фаза определяет сдвиг фаз между этими синусоидально изменяющимися величинами.

Если воспользоваться моделями (6), (7) и (8), нетрудно исследовать свойства резистивного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений в цепях гармонических токов.

В самом деле, если ток i описывается выражением (11), то

(14)

(15)

Известно, что , поэтому (16)

что говорит об опережении фазы колебаний напряжения на угол по отношению к фазе тока. (17)

Учитывая, что , получим (18)

Таким образом, напряжение на ёмкости отстаёт по фазе на от тока.

Из выражений (14), (15) и (17) с помощью (13) нетрудно получить выражение для сопротивлений элементов гармоническому току с угловой частотой 

, , (19)

Если , и не зависят от или , то это – линейные цепи. В других случаях мы имеем дело с нелинейными цепями. К последним относятся емкостные элементы, управляемые напряжением (варикапы), транзисторы, газонаполненные лампы, диоды, операционные усилители и множество других элементов современных цепей.