Решение.

xi \ yj	0	1	2
0	0	0
1	0		0
2		0	0

Случайный вектор дискретного типа, следовательно, F(x,y) = .

F(x, y)	y ≤ 0	0 < y ≤ 1	1 < y ≤ 2	y > 2
x ≤ 0	0	0	0	0
0 < x ≤ 1	0	0	0
1 < x ≤ 2	0	0		+
x > 2	0		+	+ + =1

Пояснение: .

= .

= .

.

Ковариация, корреляция. Линии регрессии

Особую роль при исследовании системы играет второй смешанный центральный момент.

Определение 72. Второй смешанный центральный момент μ₁₁ называется корреляционным или моментом связи или ковариацией:

.

для СВДТ .

для СВНТ.

Теория корреляции решает две задачи: 1) установление формы связи между случайными величинами, 2) определение тесноты и силы этой связи.

, помимо рассеивания, характеризует взаимное влияние случайных величин X и Y, входящих в систему. Для оценки степени влияния используется не сам момент, а безразмерное соотношение, которое называется нормированной ковариацией или коэффициентом корреляции:

–

коэффициент корреляции двух случайных компонент X и Y случайного вектора.

(Иногда его обозначают как ).

Средние квадратические отклонения случайных величин Х и У равны , .

Определение 17. X и Y называются некоррелированными случайными величинами, если их коэффициент корреляции , и коррелированными, если отличен от нуля.

Свойства коэффициента корреляции :

1. Если X и Y – независимые СВ, то = . (X и Y некоррелированные случайные величины). Обратное утверждение неверно, так как X и Y могут быть зависимыми, но при этом .

2. .

3. В случае говорят о положительной корреляции Х и Y , что означает: при возрастании одной из них другая тоже имеет тенденцию в среднем возрастать. Например, вес и рост человека.

4. В случае говорят об отрицательной корреляции Х и Y , что означает: при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем убывать. Например, время, потраченное на подготовку прибора к работе и количество неисправностей, обнаруженных при его работе.

Взаимная связь двух случайных величин, помимо , может быть описана с помощью линий регрессии. Действительно, хотя при каждом значении Х = x величина Y остается случайной величиной, допускающей рассеивание своих значений, однако зависимость Y от Х сказывается часто в изменении средних размеров Y при переходе от одного значения х к другому. С изменением х будет изменяться и . Это означает, что можно рассматривать функцию = , областью определения которой является множество возможных значений случайной величины Х. Эта функция носит название регрессии Y по Х.

Аналогично, зависимость X от Y описывает функция = .

и – уравнения регрессии

Линии, определенные этими уравнениями, называются кривыми или линиями регрессии. (Вводятся лишь для непрерывных СВ, для ДСВ линии будут состоять из точек.)

Если обе линии регрессии – прямые, то корреляционную зависимость называют линейной (линейная корреляция). Для нормально распределенного случайного вектора (X,Y) уравнения регрессии линейные:

, .

Связь коэффициента корреляции и линий регрессии

1) Если , то линии регрессии наклонены вправо.

2) Если , то линии регрессии наклонены влево.

3) Если , то линии регрессии проходят параллельно осям координат.

4) Если, , то линии регрессии сливаются в одну линию, а случайные величины X и Y связаны между собой линейной функциональной зависимостью , , причем знак коэффициента корреляции (+ r_ХУ ) или (– r_ХУ) берется в зависимости от знака (+ или –) коэффициента а, который называется коэффициентом регрессии.

Часто пишут уравнение в виде: и называют его уравнением парной регрессии, где коэффициент регрессии .

Определение 73. Ковариационной матрицей случайного вектора называется симметрическая действительная матрица, элемент которой представляет собой ковариации соответствующих пар компонент: .

Определение 74. Корреляционной матрицей случайного вектора называется нормированная ковариационная матрица .

Пример 9. Дано уравнение парной регрессии . Выберите правильный коэффициент корреляции: 1) = 0,6, 2) = – 0,6, 3) =1,2.