Д оказательство (геометрическое)

События отождествляют с множествами. Два раза накладываем «лепесток» друг на друга, поэтому и отнимаем его. (что и треб. доказать)

Теорема 2^/ ( Обобщенная теорема сложения совместных событий).

Вероятность суммы n совместных событий равна , где суммы распространяются на различные значения индексов.

Для трех совместных событий теорема запишется в виде:

Р (А₁+ А₂+А₃)=Р(А₁)+Р(А₂) +Р(А₃) – Р(А₁А₂) – Р(А₁А₃) – Р(А₂А₃) + Р(А₁А₂А₃)

Доказательство для трех событий (геометрическое):

События отождествляют с множествами (см. рис.).

(что и треб. доказать)

Замечание. Аналогичную формулу можно написать для произведения совместных событий:

Р(АВ) = Р(А)+Р(В) – Р(А+В)

Р(А₁А₂А₃) = Р(А₁)+Р(А₂) +Р(А₃) – Р(А₁+А₂) – Р(А₁ +А₃) – Р(А₂ +А₃) + Р(А₁+ А₂+А₃)

Пример. Для поражения самолета необходимо, чтобы были поражены оба двигателя (события А₁ и А₂) или была поражена кабина пилота (событие А₃). Требуется выразить вероятность поражения самолета (событие А) через вероятности событий А₁, А_2, А₃.

Решение.

А = А₁ А₂+А₃. Т.к. события совместны, то по теореме 2 следует, что

Р(А) = Р(А₁ А₂)+Р(А₃) – Р(А₁А₂А₃) = (по замечанию) = Р(А₁)+Р(А₂) – Р(А₁+А₂) – Р(А₁) –Р(А₂) – Р(А₃) + Р(А₁+А₂) + Р(А₁ +А₃) + Р(А₂ +А₃) – Р(А₁+ А₂+А₃) = – Р(А₃) + Р(А₁ +А₃) + Р(А₂ +А₃) – Р(А₁+ А₂+А₃) .

П.2. Теоремы умножения вероятностей

Определение 21. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Определение 22. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Примеры: 1) А = {появление решки на первой монете}, В = {появление решки на второй монете}. А и В – независимы.

2. А = {рождение мальчика у Тани}, В = {рождение мальчика у Лены}. А и В – независимы.

3. В урне 2 белых и 1 черный шар. Двое Таня и Ваня вынимают из урны по одному шару. Зависимы или независимы события: А = {появление белого шара у Тани}, В = {появление белого шара у Вани}?

Решение.

Найдем вероятности событий. Р(А) = до известия о событии В. После известия о событии В данная вероятность Р(А) = . Следовательно, А и В зависимые.

Определение 23. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Определение 24. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Определение 25. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается .

В примере 3): Р(А) = , .

Условие независимости события А от события В: .

Условие зависимости события А от события В: .

Теорема 3. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.