Решение.

Шары синие, следовательно, n = 3, а + b = 12, а = 7.

Данная случайная величина имеет возможные значения х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2, х₄ = 3.

, ,

, .

Следовательно, ряд распределения имеет вид:

xi	0	1	2	3	4
pi

Мат. ожидание найдем по формуле: .

или по определению: .

П. 6. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерный, показательный, нормальный Пп 1. Равномерное распределение или закон равномерной плотности

Пусть известно, что все возможные значения х непрерывной случайной величины Х лежат в пределах определенного интервала (a, b), в некоторых источниках рассматривается [a, b].

Определение 54. Равномерным называют распределение вероятностей НСВ Х, если на каждом интервале (a, b) ее плотность распределения f(x) сохраняет постоянное значение, равное (т. е. все х одинаково вероятны), а вне этого интервала плотность равна нулю:

Примеры типовых задач: равномерное распределение реализуется 1) в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на промежутке (a, b) или [a, b], причем Х – координата поставленной точки; 2) в экспериментах по измерению тех или иных физических величин с округлением, причем Х – ошибка округления.

Выведем формулы для вычисления мат. ожидания и дисперсии.

, D[X] = .

Итак, , D[X] = , тогда среднее квадратическое .

Вероятность попадания случайной величины на участок находится по формуле:

..

Найдем функцию распределения F(x):

Если , то , следовательно .

Если , то

Если , то

Итак,

Пример. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 ампера. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 ампера.

Решение.

СВ Х – ошибка округления отсчета. Х распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями:

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08).

Найдем вероятность попадания Х в этот интервал:

Можно было найти эту вероятность, сразу подставив в формулу , следовательно,

Пп 2. Показательное или экспоненциальное распределение

Определение 55. НСВ Х распределена по показательному или экспоненциальному закону, если ее плотность распределения f(x) имеет вид:

– коэффициент распределения.

Выведем формулы для вычисления мат. ожидания и дисперсии.

D[X] = .

Итак, , D[X] = , тогда среднее квадратическое: .

Найдем функцию распределения F(x):

Если , то , следовательно .

Если , то .

Итак,

Пример. Случайная величина Т – время работы радиолампы имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы лампы 400 часов.