Решение.

Обозначим А = {хотя бы одно попадание в цель}.

А₁ = {попадание в цель при первом выстреле}, А₂ = {попадание в цель при втором выстреле}, А₃ = {попадание в цель при третьем выстреле}.

Р(А₁) = р₁, Р(А₂) = р₂, Р(А₃) = р₃.

Можно расписать в алгебре событий данное событие в виде суммы произведений:

и найти вероятности слагаемых, где множители – независимые события. Но это нецелесообразно.

Перейдем от прямого события к противоположному: = { ни одного попадания в цель}:

,

где = 1– р₁ =0,6, = 1 – р₂ = 0,5, = 1 – р₃ =0,3.

Тогда по теореме 5:

(т.к. события независимые, то по теореме 4) = = .

§ 5. Формулы полной вероятности и формула Байеса п. 1. Формула полной вероятности (следствие обеих основных теорем сложения и умножения)

Пусть событие А еще не произошло, но вскоре должно произойти. Событие А может протекать в различных условиях, относительно характера которых сделано n гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу несовместных событий. Вероятности гипотез известны. Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе:

– формула полной вероятности.

Доказательство.

По условию теоремы гипотезы Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу несовместных событий, следовательно, событие А может произойти с одной и только с одной гипотезой:

.

Т.к. гипотезы несовместны, то и комбинации Н₁А, Н₂А, …, Н_nА – несовместны. Применим теорему 1:

(события А и Н_i – зависимы, т.е. надо применить теорему 3) = . (что и треб. доказать)

Пример. Имеется пять урн:

2 урны состава Н₁ – по 2 белых шара и 1 черному,

1 урна состава Н₂ – 10 черных шаров,

2 урны состава Н₃ – по 3 белых и 1 черному шару.

Наудачу выбирается урна, и из нее наудачу выбирается шар. Чему равна вероятность события А = {будет вынут белый шар}?

Решение.

Событие А еще не произошло. Шар может быть вынут из урн разных составов, следовательно, в алгебре событий событие А запишется в виде: . Тогда по формуле полной вероятности:

(*).

Найдем отдельно вероятности событий:

(две урны состава Н₁ из пяти), , ,

(в каждой урне состава Н₁ 2 белых шара из трех),

( в урне состава Н₂ белых шаров нет),

.

Подставим найденные вероятности в формулу (*): .

П. 2. Формула Байеса (Бейеса) (следствие теоремы умножения и формулы полной вероятности)

Пусть событие А произошло, причем А могло протекать в различных условиях, относительно характера которых было сделано n гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу несовместных событий. Вероятности гипотез известны. Требуется узнать, как изменятся вероятности гипотез в связи с появлением события А. Т.е. надо найти условную вероятность .

Решение.

По условию теоремы гипотезы Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу несовместных событий, следовательно событие .А произошло с одной и только с одной гипотезой:

, причем события А и Н_i – зависимы, поэтому найдем вероятность произведения Н_iА, воспользовавшись теоремой 3:

(или, что то же самое) = , i = 1,2,…,n, отсюда

.

Выразим Р(А) с помощью формулы полной вероятности:

– формула Байеса.

Пример. Имеется пять урн:

2 урны состава Н₁ – по 2 белых шара и 3 черных шара,

2 урны состава Н₂ – по 1 белому и 4 черных шара,

1 урна состава Н₃ – 4 белых и 1 черный шар.

Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие А). Чему равна после опыта вероятность события, что шар вынут из урны третьего состава.