Решение.

СВ Х имеет биномиальное распределение, следовательно, сразу по формулам имеем:

(детали в среднем бракованы).

.

(детали) – разброс бракованных деталей относительно среднего числа.

Пп 2. Распределение Пуассона

Постановка задачи: пусть СВ Х выражает число появления события А ( m раз) при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях, причем n очень велико ( . Вероятность появления события А – р – очень мала. Вероятности возможных значений х₀ = 0, х₁ = 1,…, х_n = n данной СВ можно вычислить, пользуясь асимптотической формулой Пуассона:

P_n(Х = m) = ,

где – среднее число появления события в n испытаниях: .

Определение 51. Распределение дискретной случайной величины, для которой ряд распределения задается формулой Пуассона, называется распределением Пуассона.

Примеры типовых задач: 1) число вызовов на телефонной станции за некоторое время t, 2) число отказов сложной аппаратуры за некоторое время t, 3) распределение изюма в булочках, 4) число кавалеристов, убитых за год копытом лошади.

Распределение Пуассона зависит только от одного параметра . Так как это среднее число появления события в n испытаниях, то это ни что иное как математическое ожидание, следовательно,

.

Можно вывести, что дисперсия СВ Х, распределенной по закону Пуассона, находится по формуле:

.

Замечание. Мы использовали распределение Пуассона как приближенное в тех случаях, когда точным распределением СВ является биномиальное распределение, и когда математическое ожидание мало отличается от дисперсии, т. е. .

Можно было получить распределение Пуассона, рассматривая задачу о числе случайных точек на оси абсцисс, попадающих на заданный отрезок, причем среднее число точек, приходящихся на единицу длины.

Пример 1. На телефонную станцию в течение определенного часа дня поступает в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что в течение минуты поступает не более двух вызовов.

Решение.

– среднее число появления события в n испытаниях, т. е. .

СВ Х – число вызовов, ее возможные значения: х₀ = 0, х₁ = 1, х₂ = 2.

По условию, в течение минуты поступает не более двух вызовов, т. е. , тогда,

Пример 2. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудет 3 негодных изделия.

Решение.

Дано: р = 0,002; q = 1 – р = 0,998; n = 500. Проверим, можно ли воспользоваться формулой Пуассона, т. е. проверим истинность равенства: .

, , отсюда, , т. е. можно пользоваться формулой Пуассона.

, следовательно,

P₅₀₀(Х = 3) = = .

Пп 3. Гипергеометрическое распределение

Постановка задачи: производится ряд n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью р наступает событие А. Опыты продолжаются до первого появления события А. Случайная величина Х – число проведенных опытов. х₀, х₁,…, х_n – возможные значения данной СВ.

Определение 52. Х с возможными значениями 0, 1, …, m, …, а имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, а, b, если .

Можно вывести, что ,

.

Определение 53. Х имеет гипергеометрическое распределение, если

, n = n₁ + n₂ +…+ n_n, m = m₁ + m₂ +…+ m_n.

Пример типовой задачи: из урны, содержащей 5 красных и 7 синих шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина Х – число синих шаров в выборке. Описать закон распределения Х и найти математическое ожидание.