Доказательство.

Докажем для схемы урн истинность тождества формулы.

Пусть всевозможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые изобразим в виде точек:

П усть событию А благоприятствует m случаев, событию В – k случаев, а т.к. события А и В совместны (мы не предполагали их несовместность), то событиям А и В одновременно благоприятствует l случаев.

Тогда, вероятности данных событий равны: , .

Вычислим условную вероятность , т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место. Если известно, что А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те, которые благоприятствовали событию А. Из них l случаев благоприятны событию В, следовательно, , т.е.

– истинно, т.к. – истинное тождество. (что и треб. доказать).

Замечание 1. При применении теоремы вполне безразлично, какое из событий А или В считать первым, а какое вторым, т.е. теорему можно записать в виде:

Замечание 2. В общем случае при Р(А) > 0, Р(В) > 0 условная вероятность выражается формулой: , .

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Замечание 3. Зависимость и независимость событий всегда взаимны.

Замечание 4. Условные вероятности обладают всеми свойствами, присущими обычным вероятностям:

1. ,

2. если наступление события В исключает возможность осуществления А, т.е. , то

, если событие В ведет к обязательному осуществлению А, т.е. , то .

3. Если A_k – несовместные события, т.е. А = А₁ + А₂ +…+А_n, то .

4. .

Замечание 5. Если А и В независимы, то независимы также события А и , и В, и .

Теорема 3^/. ( Обобщенная теорема умножения зависимых событий).

Вероятность произведения нескольких зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Р(А₁ ∙ А₂ ∙ А₃ ∙….∙А_n) = Р(А₁)∙ ∙ ∙…∙ .

Теорема 4. (теорема умножения независимых событий).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: .

Теорема 4^/. ( Обобщенная теорема умножения независимых событий).

Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А₁ ∙ А₂ ∙ А₃ ∙….∙А_n) = Р(А₁)∙ ∙ ∙…∙ .

Пример 1. Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти: а) вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале), б) вероятность того, что вторая карта будет тузом, если первоначально тоже был вынут туз.

Решение.

Обозначим А = {появление туза вторым}, В = {появление туза первым}.

а) , где = {появление первым не туза}.

События и – несовместны, тогда по теореме 1 следует, что

(события А и В, А и – зависимые, применим теорему 3) = .

б) Если вынутая первая карта – туз , то в колоде осталось 35 карт и среди них только три туза, следовательно, .

Или можно было найти эту вероятность, используя формулу условной вероятности:

.

Пример 2. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что а) оба белые, б) оба белые, если после первого вынимания шар возвращают обратно в урну, и шары перемешиваются.

Решение.

Обозначим: А = {появление двух белых шаров}, В = {появление белого шара при первом вынимании}, С = {появление белого шара при втором вынимании}.

а) А = В∙С. События В и С – зависимы, тогда по теореме 3 следует, что

.

б) А = В∙С. События В и С – независимы, тогда по теореме 4 следует, что

.

Теорема 5. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, А₃,…, А_n , независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий:

.

Если все , то .

Пример. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно р₁ = 0,4; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет хотя бы одна пробоина.