1.3. Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи
Виходячи з умови задачі можна припустити, що числами в таблиці можуть бути, приміром, продуктивність i-го робітника при виконанні їм j-ой роботи. Тому цілком природним результатом рішення цієї задачі буде одержання максимальної сумарної продуктивності після виконання кожним робітником однієї з наведених робіт. (Під продуктивністю в цьому випадку можна вважати кількість одиниць продукції, що буде випущена кожним робітником за певну одиницю часу).
Спробуємо звести цю задачу до задачі цілочисельного лінійного програмування. Для цього представимо закріплення (призначення) кожного з n робітників на одну з наявних n робіт у вигляді наступної матриці
у котрій
А тому що кожний із працівників може виконувати тільки одну роботу, а кожна робота повинна виконуватися тільки одним робітником, що означає наявність у кожному рядку й у кожному стовпці матриці Y тільки однієї одиниці. Математично це запишеться у наступному виді
Виходячи з того, що всі yij можуть приймати значення 0 або 1, можна замінити вимогою, щоб всі yij були ненегативними цілими числами
Як бачимо, закріплення (призначення) кожного з n робітників на одну з наявних n робіт можна представити у вигляді матриці Y, елементи котрої yij задовольняють вищенаведеним співвідношенням. При этом суммарная производительность всех работников найдётся по формуле
де dij – продуктивність i-го робітника при виконанні їм j-ой роботи.
У такий спосіб знаходження оптимального плану закріплення всіх робітників за роботами, що є в наявності зводиться до знаходження значень змінних yij, що задовольняють наведеним вище лінійним рівностям і нерівностям, умові цілочисельності й обертаючих у максимум лінійну форму L, тобто до рішення задачі цілого чисельного лінійного програмування.
Нижче наведений результат розв'язання поставленої задачі за допомогою функції “Пошук рішення” табличного процесора EXCEL (рис. 1.1).
У верхній частині рис. 1.1 наведена таблиця з вихідними даними, а в нижній його частині – сам результат рішення, що призначає:
першого працівника А1 для виконання першої роботи В1;
другого працівника А2 для виконання другої роботи В2;
третього працівника А3 для виконання п'ятої роботи В5;
четвертого працівника А4 для виконання третьої роботи В3;
п'ятого працівника А5 для виконання четвертої роботи В4.
Сумарна максимальна продуктивність всіх робітників при такому закріпленні за роботами становить 32 одиниці часу (див. клітку цільової функції В32).
При цьому клітки з Н11 по Н15 містять суми розташованих ліворуч п'яти кліток, а клітки із В16 по G16 - суми розташованих вище п'яти кліток і в клітках із В17 по G17 полічені продуктивності всіх робіт після їх найбільш успішного закріплення за працівниками. Зокрема для клітки В17 це опишеться наступною формулою - В3*В11+В4*В12+В5*В13+В6*В14+В7*В15.
Клітка із цільовою функцією В32 містить суму п'яти кліток розташованих праворуч від її, що означає сумарну оптимальну продуктивність всіх п'яти робітників після виконання ними відповідних робіт.
Рис. 1.1. Результат розв'язання поставленої задачі за допомогою функції “Пошук рішення” табличного процесора EXCEL
На рис. 1.2 наведене діалогове вікно функції “Пошук рішення” табличного процесора EXCEL, де описані:
цільова клітка В17;
напрямок оптимізації - максимізація;
діапазон змінюваних кліток - В11:G15;
обмеження задачі, які задані у вигляді однієї нерівності (В11:G15 >= 0) і двох рівностей (C8:G8 = C16:G16 і Н3:Н7 = Н11:Н15).
Рис. 1.2. Діалогове вікно функції “Пошук рішення” табличного процесора EXCEL
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2. РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ ПРО КОМІВОЯЖЕРА