Задача 4.2
Математическая модель:
Z=∑ f1(xi)+f2(Si-1-xi) →max, где i=1..n
Si=q1(xi)+q2(Si-1-xi)-уравнение состояния
f (xi) – прирост ден. средств от i-ого проекта
g (xi) – отдача ден. средств от i-ого проекта
S0 – выделенные денежные средства
Имеющиеся данные:
S0=139 f1(x)=0,8 f2(x)=0,3
g1(x)=0,8 g2(x)=0,4
1 год:
|
1 проект |
|
2 проект |
Сумма |
|
|
139 |
|
|
|
x1 |
|
109-x1 |
|
Прибыль |
0,8х1 |
|
0,3*(139-x1)=41,7-0,3х1 |
0,8х1+41,7-0,3х1=41,7+0,5x1 |
Возврат |
0,8х1 |
|
0,4*(139-x1)=55,6 -0,4х1 |
0,8х1+55,6-0,4х1=55,6+0,4x1 |
2 год:
|
1 проект |
|
2 проект |
Сумма |
|
|
55,6+0,4x1 |
|
|
|
х2 |
|
55,6+0,4x1-x2 |
|
Прибыль |
0,8х2 |
|
0,3*(55,6+0,4x1-x2)=16,68 +0,12x1-0,3x2
|
0,8x2+16,68+0,12x1-0,3x2 =16,68+0,12x1+0,5x2 |
16,68+0,12x1+0,5x2→max, х2 є [0; 55,6+0,4x1]; х1 є [0;139]
х1=139; х2=55,6+0,4x1=55,6+0,4*139=111,2
Ответ:
Прибыль в 1 году составит 0,8х1=0,8*139=111,2 ден.ед.
во 2 году-0,3х2=0,3*111,2=33,36 ден.ед
Мах прибыль за два года-111,2+33,36=144,56 ден.ед
Для этого в 1 год мы вкладываем 139 ден.ед. в 1 проект, во 2 году 111,2 ден.ед.- в 1 проект.
Задача 5.1
Z=F1+F2+F3+F4→min
Экономический смысл переменных:
Z – минимальные суммарные затраты
Fi – затраты в i месяце
f(xi) – затраты на пополнение запаса
g(yi) – затраты на хранение запаса
Si – остаток запаса на конец i шага
xi – пополнение запаса на i шаге
di – запланированный спрос на i шаге
yi - средний уровень хранимого запаса
Si=Si-1+xi- di - уравнение состояния
yi= di/2 + Si – средний уровень хранения
Исходные данные: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
d1= |
2 |
d2= |
1 |
d3= |
5 |
d4= |
4 |
|
||||||
S0 = |
1 |
f(x)= |
0,5 |
g(y)= |
0,5 |
S4= |
0 |
|
||||||
Шаг 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
S3 |
X4 |
Y4 |
f(x) |
g(y) |
f(x)+g(y) |
F4 |
||||||||
0 |
4 |
2 |
2 |
1 |
3 |
3 |
||||||||
1 |
3 |
2 |
1,5 |
1 |
2,5 |
2,5 |
||||||||
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
||||||||
3 |
1 |
2 |
0,5 |
1 |
1,5 |
1,5 |
||||||||
4 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
||||||||
Шаг 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
X3 |
S3 |
Y3 |
f(x) |
g(y) |
F4 |
f(x)+g(y)+F4 |
F3 |
0 |
5 |
0 |
2,5 |
2,5 |
1,25 |
3 |
6,75 |
6,75 |
|
6 |
1 |
3,5 |
3 |
1,75 |
2,5 |
7,25 |
|
|
7 |
2 |
4,5 |
3,5 |
2,25 |
2 |
7,75 |
|
|
8 |
3 |
5,5 |
4 |
2,75 |
1,5 |
8,25 |
|
|
9 |
4 |
6,5 |
4,5 |
3,25 |
1 |
8,75 |
|
1 |
4 |
0 |
2,5 |
2 |
1,25 |
3 |
6,25 |
6,25 |
|
5 |
1 |
3,5 |
2,5 |
1,75 |
2,5 |
6,75 |
|
|
6 |
2 |
4,5 |
3 |
2,25 |
2 |
7,25 |
|
|
7 |
3 |
5,5 |
3,5 |
2,75 |
1,5 |
7,75 |
|
|
8 |
4 |
6,5 |
4 |
3,25 |
1 |
8,25 |
|
2 |
3 |
0 |
2,5 |
1,5 |
1,25 |
3 |
5,75 |
5,75 |
|
4 |
1 |
3,5 |
2 |
1,75 |
2,5 |
6,25 |
|
|
5 |
2 |
4,5 |
2,5 |
2,25 |
2 |
6,75 |
|
|
6 |
3 |
5,5 |
3 |
2,75 |
1,5 |
7,25 |
|
|
7 |
4 |
6,5 |
3,5 |
3,25 |
1 |
7,75 |
|
3 |
2 |
0 |
2,5 |
1 |
1,25 |
3 |
5,25 |
5,25 |
|
3 |
1 |
3,5 |
1,5 |
1,75 |
2,5 |
5,75 |
|
|
4 |
2 |
4,5 |
2 |
2,25 |
2 |
6,25 |
|
|
5 |
3 |
5,5 |
2,5 |
2,75 |
1,5 |
6,75 |
|
|
6 |
4 |
6,5 |
3 |
3,25 |
1 |
7,25 |
|
4 |
1 |
0 |
2,5 |
0,5 |
1,25 |
3 |
4,75 |
4,75 |
|
2 |
1 |
3,5 |
1 |
1,75 |
2,5 |
5,25 |
|
|
3 |
2 |
4,5 |
1,5 |
2,25 |
2 |
5,75 |
|
|
4 |
3 |
5,5 |
2 |
2,75 |
1,5 |
6,25 |
|
|
5 |
4 |
6,5 |
2,5 |
3,25 |
1 |
6,75 |
|
5 |
0 |
0 |
2,5 |
0 |
1,25 |
3 |
4,25 |
4,25 |
|
1 |
1 |
3,5 |
0,5 |
1,75 |
2,5 |
4,75 |
|
|
2 |
2 |
4,5 |
1 |
2,25 |
2 |
5,25 |
|
|
3 |
3 |
5,5 |
1,5 |
2,75 |
1,5 |
5,75 |
|
|
4 |
4 |
6,5 |
2 |
3,25 |
1 |
6,25 |
|
6 |
0 |
1 |
3,5 |
0 |
1,75 |
2,5 |
4,25 |
4,25 |
|
1 |
2 |
4,5 |
0,5 |
2,25 |
2 |
4,75 |
|
|
2 |
3 |
5,5 |
1 |
2,75 |
1,5 |
5,25 |
|
|
3 |
4 |
6,5 |
1,5 |
3,25 |
1 |
5,75 |
|
7 |
0 |
2 |
4,5 |
0 |
2,25 |
2 |
4,25 |
4,25 |
|
1 |
3 |
5,5 |
0,5 |
2,75 |
1,5 |
4,75 |
|
|
2 |
4 |
6,5 |
1 |
3,25 |
1 |
5,25 |
|
8 |
0 |
3 |
5,5 |
0 |
2,75 |
1,5 |
4,25 |
4,25 |
|
1 |
4 |
6,5 |
0,5 |
3,25 |
1 |
4,75 |
|
9 |
0 |
4 |
6,5 |
0 |
3,25 |
1 |
4,25 |
4,25 |
Шаг 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
X2 |
S2 |
Y2 |
f(x) |
g(y) |
F3 |
f(x)+g(y)+F3 |
F2 |
0 |
1 |
0 |
0,5 |
0,5 |
0,25 |
6,75 |
7,5 |
7,5 |
|
2 |
1 |
1,5 |
1 |
0,75 |
6,25 |
8 |
|
|
3 |
2 |
2,5 |
1,5 |
1,25 |
5,75 |
8,5 |
|
|
4 |
3 |
3,5 |
2 |
1,75 |
5,25 |
9 |
|
|
5 |
4 |
4,5 |
2,5 |
2,25 |
4,75 |
9,5 |
|
|
6 |
5 |
5,5 |
3 |
2,75 |
4,25 |
10 |
|
|
7 |
6 |
6,5 |
3,5 |
3,25 |
4,25 |
11 |
|
|
8 |
7 |
7,5 |
4 |
3,75 |
4,25 |
12 |
|
|
9 |
8 |
8,5 |
4,5 |
4,25 |
4,25 |
13 |
|
|
10 |
9 |
9,5 |
5 |
4,75 |
4,25 |
14 |
|
1 |
0 |
0 |
0,5 |
0 |
0,25 |
6,75 |
7 |
7 |
|
1 |
1 |
1,5 |
0,5 |
0,75 |
6,25 |
7,5 |
|
|
2 |
2 |
2,5 |
1 |
1,25 |
5,75 |
8 |
|
|
3 |
3 |
3,5 |
1,5 |
1,75 |
5,25 |
8,5 |
|
|
4 |
4 |
4,5 |
2 |
2,25 |
4,75 |
9 |
|
|
5 |
5 |
5,5 |
2,5 |
2,75 |
4,25 |
9,5 |
|
|
6 |
6 |
6,5 |
3 |
3,25 |
4,25 |
10,5 |
|
|
7 |
7 |
7,5 |
3,5 |
3,75 |
4,25 |
11,5 |
|
|
8 |
8 |
8,5 |
4 |
4,25 |
4,25 |
12,5 |
|
|
9 |
9 |
9,5 |
4,5 |
4,75 |
4,25 |
13,5 |
|
2 |
0 |
1 |
1,5 |
0 |
0,75 |
6,25 |
7 |
7 |
|
1 |
2 |
2,5 |
0,5 |
1,25 |
5,75 |
7,5 |
|
|
2 |
3 |
3,5 |
1 |
1,75 |
5,25 |
8 |
|
|
3 |
4 |
4,5 |
1,5 |
2,25 |
4,75 |
8,5 |
|
|
4 |
5 |
5,5 |
2 |
2,75 |
4,25 |
9 |
|
|
5 |
6 |
6,5 |
2,5 |
3,25 |
4,25 |
10 |
|
|
6 |
7 |
7,5 |
3 |
3,75 |
4,25 |
11 |
|
|
7 |
8 |
8,5 |
3,5 |
4,25 |
4,25 |
12 |
|
|
8 |
9 |
9,5 |
4 |
4,75 |
4,25 |
13 |
|
3 |
0 |
2 |
2,5 |
0 |
1,25 |
5,75 |
7 |
7 |
|
1 |
3 |
3,5 |
0,5 |
1,75 |
5,25 |
7,5 |
|
|
2 |
4 |
4,5 |
1 |
2,25 |
4,75 |
8 |
|
|
3 |
5 |
5,5 |
1,5 |
2,75 |
4,25 |
8,5 |
|
|
4 |
6 |
6,5 |
2 |
3,25 |
4,25 |
9,5 |
|
|
5 |
7 |
7,5 |
2,5 |
3,75 |
4,25 |
10,5 |
|
|
6 |
8 |
8,5 |
3 |
4,25 |
4,25 |
11,5 |
|
|
7 |
9 |
9,5 |
3,5 |
4,75 |
4,25 |
12,5 |
|
4 |
0 |
3 |
3,5 |
0 |
1,75 |
5,25 |
7 |
7 |
|
1 |
4 |
4,5 |
0,5 |
2,25 |
4,75 |
7,5 |
|
|
2 |
5 |
5,5 |
1 |
2,75 |
4,25 |
8 |
|
|
3 |
6 |
6,5 |
1,5 |
3,25 |
4,25 |
9 |
|
|
4 |
7 |
7,5 |
2 |
3,75 |
4,25 |
10 |
|
|
5 |
8 |
8,5 |
2,5 |
4,25 |
4,25 |
11 |
|
|
6 |
9 |
9,5 |
3 |
4,75 |
4,25 |
12 |
|
5 |
0 |
4 |
4,5 |
0 |
2,25 |
4,75 |
7 |
7 |
|
1 |
5 |
5,5 |
0,5 |
2,75 |
4,25 |
7,5 |
|
|
2 |
6 |
6,5 |
1 |
3,25 |
4,25 |
8,5 |
|
|
3 |
7 |
7,5 |
1,5 |
3,75 |
4,25 |
9,5 |
|
|
4 |
8 |
8,5 |
2 |
4,25 |
4,25 |
10,5 |
|
|
5 |
9 |
9,5 |
2,5 |
4,75 |
4,25 |
11,5 |
|
6 |
0 |
5 |
5,5 |
0 |
2,75 |
4,25 |
7 |
7 |
|
1 |
6 |
6,5 |
0,5 |
3,25 |
4,25 |
8 |
|
|
2 |
7 |
7,5 |
1 |
3,75 |
4,25 |
9 |
|
|
3 |
8 |
8,5 |
1,5 |
4,25 |
4,25 |
10 |
|
|
4 |
9 |
9,5 |
2 |
4,75 |
4,25 |
11 |
|
7 |
0 |
6 |
6,5 |
0 |
3,25 |
4,25 |
7,5 |
7,5 |
|
1 |
7 |
7,5 |
0,5 |
3,75 |
4,25 |
8,5 |
|
|
2 |
8 |
8,5 |
1 |
4,25 |
4,25 |
9,5 |
|
|
3 |
9 |
9,5 |
1,5 |
4,75 |
4,25 |
10,5 |
|
8 |
0 |
7 |
7,5 |
0 |
3,75 |
4,25 |
8 |
8 |
|
1 |
8 |
8,5 |
0,5 |
4,25 |
4,25 |
9 |
|
|
2 |
9 |
9,5 |
1 |
4,75 |
4,25 |
10 |
|
9 |
0 |
8 |
8,5 |
0 |
4,25 |
4,25 |
8,5 |
8,5 |
|
1 |
9 |
9,5 |
0,5 |
4,75 |
4,25 |
9,5 |
|
10 |
0 |
9 |
9,5 |
0 |
4,75 |
4,25 |
9 |
9 |
Шаг 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
X1 |
S1 |
Y1 |
f(x) |
g(y) |
F2 |
f(x)+g(y)+F2 |
F1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0,5 |
0,5 |
7,5 |
8,5 |
8,5 |
X1=1; S1=0; |
X2=1; S2=0; |
X3=5; S3=0; |
X4=4; S4=0; |
Минимальные суммарные затраты на приобретение и хранение товара составят 8,5 ден. ед., при этом в первом месяце необходимо закупить товар 1 ед, во втором месяце необходимо закупить 1 ед. товара, в третьем месяце закупаем 5 ед. товара и в четвертом месяце 4 ед. товара. Тогда в конце четвертого месяца склад будет пуст.
Задача 5.2
b=804 ед. в год – интенсивность равномерного спроса
с1=0,6 – затраты на доставку одной партии
с2=0,4 – затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени
ед. – оптимальное количество товара в
одной партии
-оптимальное количество партий
(дней)
– продолжительность цикла
Задача 5.3
Математическая модель задачи: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
xi={сохранить/заменить} |
|
|
|
|
|
||
xi>=0 |
|
|
|
|
|
|
|
- основное функциональное уравнение
при произвольном шаге (i<N);
где i=1;2;3;4;5;6.
- основное функциональное уравнение
на последнем, N-ом шаге.
Экономический смысл переменных: |
|||||
zc – прибыль в случае сохранения оборудования |
|
||||
zз – прибыль в случае замены оборудования |
|
||||
S0 – первоначальное состояние системы |
|
|
|||
Siн – предполагаемый возраст оборудования в начале i года |
|
||||
Si – возраст оборудования в конце i года |
|
|
|||
N – плановый период |
|
|
|
|
|
t – возраст оборудования |
|
|
|
|
|
Fi – мах доход на каждом шаге |
|
|
|
||
s – остаточная стоимость оборудования |
|
|
|||
p – затраты на покупку нового оборудования |
|
||||
Схема решения:
Принцип Беллмана
Условная оптимизация
So__Iгод__S1__IIгод__S2_IIIгод__S3__IVгод__
S4_Vгод___
S5_
VIгод
__ S6
1шаг
2 шаг 3 шаг 4 шаг
5 шаг 6 шаг
х1 х2 х3 х4 х5 х6
z(x1) z(x2) z(x3) z(x4) z(x5) z(x6)
F6=max{z(x6)}
Безусловная
F5=max{
z(x5)+F6}
F4=max{ z(x4)+F5}
Оптимизация
F3=max{ z(x3)+F4}
F2=max{ z(x2)+F3}
F1=max{ z(x1)+F2}
Т.к. плановый период 6 лет, то рассчитываем последний шаг на конец 6 года
|
-область замены |
N |
t |
t1 |
s |
p |
1 |
6 |
1 |
1 |
10 |
t |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
r(t) |
24 |
22 |
24 |
29 |
25 |
26 |
29 |
u(t) |
17 |
17 |
18 |
18 |
13 |
17 |
13 |
r(t)-U(t) |
7 |
5 |
6 |
11 |
12 |
9 |
16 |
zc= r(t)-U(t) |
|
|
zз=s-p+r(0)-U(0)=1-10+24-17= -2 |
||
Шаг 6
S5 |
x6 |
S6 |
z6 |
F6 |
1 |
с |
1 |
5 |
5 |
з |
0 |
-2 |
||
2 |
с |
2 |
6 |
6 |
з |
0 |
-2 |
||
3 |
с |
3 |
11 |
11 |
з |
0 |
-2 |
||
4 |
с |
4 |
12 |
12 |
з |
0 |
-2 |
||
5 |
с |
5 |
9 |
9 |
з |
0 |
-2 |
||
6 |
с |
6 |
16 |
16 |
з |
0 |
-2 |
Шаг 5
S4 |
x5 |
S5н |
Z5 |
S5 |
F6 |
z5+F6 |
F5 |
1 |
с |
1 |
5 |
2 |
6 |
11 |
11 |
з |
0 |
-2 |
1 |
5 |
3 |
||
2 |
с |
2 |
6 |
3 |
11 |
17 |
17 |
з |
0 |
-2 |
1 |
5 |
3 |
||
3 |
с |
3 |
11 |
4 |
12 |
23 |
23 |
з |
0 |
-2 |
1 |
5 |
3 |
||
4 |
с |
4 |
12 |
5 |
9 |
21 |
21 |
з |
0 |
-2 |
1 |
5 |
3 |
||
5 |
с |
5 |
9 |
6 |
16 |
25 |
25 |
з |
0 |
-2 |
1 |
5 |
3 |
||
6 |
с |
6 |
16 |
- |
- |
- |
3 |
з |
0 |
-2 |
1 |
5 |
3 |
Шаг 4
S3 |
x4 |
S4н |
Z4 |
S4 |
F5 |
z4+F5 |
F4 |
1 |
с |
1 |
5 |
2 |
17 |
22 |
22 |
з |
0 |
-2 |
1 |
11 |
9 |
||
2 |
с |
2 |
6 |
3 |
23 |
29 |
29 |
з |
0 |
-2 |
1 |
11 |
9 |
||
3 |
с |
3 |
11 |
4 |
21 |
32 |
32 |
з |
0 |
-2 |
1 |
11 |
9 |
||
4 |
с |
4 |
12 |
5 |
25 |
37 |
37 |
з |
0 |
-2 |
1 |
11 |
9 |
||
5 |
с |
5 |
9 |
6 |
3 |
12 |
12 |
з |
0 |
-2 |
1 |
11 |
9 |
||
6 |
с |
6 |
16 |
- |
- |
- |
9 |
з |
0 |
-2 |
1 |
11 |
9 |
Шаг 3
S2 |
x3 |
S3н |
Z3 |
S3 |
F4 |
z3+F4 |
F3 |
1 |
с |
1 |
5 |
2 |
29 |
34 |
34 |
з |
0 |
-2 |
1 |
22 |
20 |
||
2 |
с |
2 |
6 |
3 |
32 |
38 |
38 |
з |
0 |
-2 |
1 |
22 |
20 |
||
3 |
с |
3 |
11 |
4 |
37 |
48 |
48 |
з |
0 |
-2 |
1 |
22 |
20 |
||
4 |
с |
4 |
12 |
5 |
12 |
24 |
24 |
з |
0 |
-2 |
1 |
22 |
20 |
||
5 |
с |
5 |
9 |
6 |
9 |
18 |
20 |
з |
0 |
-2 |
1 |
22 |
20 |
||
6 |
с |
6 |
16 |
- |
- |
- |
20 |
з |
0 |
-2 |
1 |
22 |
20 |
Шаг 2
S1 |
x2 |
S2н |
Z2 |
S2 |
F3 |
z2+F3 |
F2 |
1 |
с |
1 |
5 |
2 |
38 |
43 |
43 |
з |
0 |
-2 |
1 |
34 |
32 |
||
2 |
с |
2 |
6 |
3 |
48 |
54 |
54 |
з |
0 |
-2 |
1 |
34 |
32 |
||
3 |
с |
3 |
11 |
4 |
24 |
35 |
35 |
з |
0 |
-2 |
1 |
34 |
32 |
||
4 |
с |
4 |
12 |
5 |
20 |
32 |
32 |
з |
0 |
-2 |
1 |
34 |
32 |
||
5 |
с |
5 |
9 |
6 |
20 |
29 |
32 |
з |
0 |
-2 |
1 |
34 |
32 |
||
6 |
с |
6 |
16 |
- |
- |
- |
32 |
з |
0 |
-2 |
1 |
34 |
32 |
Шаг 1
S0 |
x1 |
S1н |
Z1 |
S1 |
F2 |
z1+F2 |
F1 |
1 |
с |
1 |
5 |
2 |
54 |
59 |
59 |
з |
0 |
-2 |
1 |
43 |
41 |
||
2 |
с |
2 |
6 |
3 |
35 |
41 |
41 |
|
з |
0 |
-2 |
1 |
43 |
41 |
|
3 |
с |
3 |
11 |
4 |
32 |
43 |
43 |
з |
0 |
-2 |
1 |
43 |
41 |
||
4 |
с |
4 |
12 |
5 |
32 |
44 |
44 |
з |
0 |
-2 |
1 |
43 |
41 |
||
5 |
с |
5 |
9 |
6 |
32 |
41 |
41 |
з |
0 |
-2 |
1 |
43 |
41 |
||
6 |
с |
6 |
16 |
- |
- |
- |
41 |
з |
0 |
-2 |
1 |
43 |
41 |
|
-область замены |