Незатухающие колебательные процессы в химии

В 1925 году шведский химик А. Д. Лотка рассмотрел следующую цепочку химических реакций:

Комментарий: вещество A в избытке, поэтому его концентрация поддерживается постоянной. Задача: составить динамическую мат. модель этой системы. Новизна этой системы заключается в том, что здесь химические вещества выступают как в роли реагентов (слева), так и в роли конечных продуктов реакций (справа). Другое важное замечание: т. к. одни и те же элементы участвуют в нескольких независимых реакциях, при составлении их кинетических уравнений следует учитывать изменение их концентраций во всех уравнениях, а оно может быть разным.

При рассмотрении многостадийных химических реакций предполагается, что элементарные химические реакции протекают независимо, т. к. закон действующих масс применим к каждой элементарной химической реакции независимо от других элементарных реакций.

Выявим динамку вещества в первом уравнении:

– динамика вещества как реагента

– динамика вещества как продукта. Двойка перед появилась из-за стехиометрического коэффициента 2 перед веществом в правой части уравнения.

Для второго уравнения:

На этом вся динамика вещества в этой системе нами выявлена. Осталось только определить общую скорость изменения его концентрации. Она будет равна сумме всех скоростей:

Выявим динамку вещества :

– как реагента

– как реагента

– как продукта

Тогда:

Динамику вещества A отслеживать не будем, т. к. по условию задачи его концентрация поддерживается постоянной. О веществе B можно сказать, что оно накапливается в осадке.

Таким образом, запишем получившуюся систему дифференциальных уравнений:

Если мы внимательно взглянем на эту модель, то мы увидим, что её структура полностью совпадает с моделью “хищник – жертва” изменения численности популяций. Унифицируем эти две системы, переведя коэффициенты пропорциональности в те обозначения, который мы использовали в модели “хищник – жертва”:

Заметим только, что коэффициенты и здесь совпадают, т. к. при вступлении двух веществ в реакцию исход будет одинаковым.

А это в свою очередь означает, что к данной модели применимы все выводы, сделанные нами для модели изменения популяций “хищник – жертва”. Также для данной модели будет применима та же самая фазовая схема с особыми точками типа “седло” и “центр” .

Химическая интерпретация данной модели заключается в следующем:

...всего объёма химической реакции.

В силу изоморфности математических моделей “хищник – жертва” и химической модели “лодка”, последнюю можно интерпретировать в экозоологических терминах: – это жертвы, – это хищники. Тогда – это трава, которую едят жертвы, а – это продукт умирания хищников, “мёртвые волки”, осадок.

29.03.2012 Лекция

Итогом последних двух занятий стали:

Модель динамики популяций “хищник – жертва”:

Модель химической реакции: