Варианты заданий, предложенные на первой рубежной аттестации в предыдущие годы.

Вариант №1

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании inf ограниченного снизу числового множества.

Задание 3. Определение inf числового множества.

Задание 4. Пусть E= E , при каждом α A существует supE_α=y_α и существует supy_α=y₀. Показать, что y₀= supE.

Задание 5. Найдите А∩В, А\В, В\А, А В, если А={-1;0;1;2;3}, В={2;3;4;5}.

Задание 6. Решите неравенство: |x|>|x+1|.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X={x_n: x_n=3 sin 4n, n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X=0 и sup X=3.

Задание 9. Пусть Х непустое, ограниченное множество, -Х – множество элементов вида –х (х Х). Докажите, что inf (–X)= - sup X.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что n²-6n+12>0 для любого n N.

Вариант №2

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании sup ограниченного сверху числового множества.

Задание 3. Определение sup числового множества.

Задание 4. Покажите, что из того факта, что для х≥0 неравенство nх≤у выполняется при всех n N, вытекает, что х=0.

Задание 5. Найдите А∩В, А\В, В\А, А В, если А={-1;0;1;2;3;4;5;6}, В={2;3;4;5}.

Задание 6. Решите неравенство: |x+2|+|x-1|≤12.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X={x_n: x_n=0,5 cos 7n, n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X=-1 и sup X=2.

Задание 9. Пусть Х непустое, ограниченное множество, -Х – множество элементов вида –х (х Х). Докажите, что sup( –X)= - inf X.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что 6n-n²-12<0 для любого n N.

Вариант №3

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании inf ограниченного снизу числового множества.

Задание 3. Определение множества, ограниченного сверху.

Задание 4. Докажите, что X\( A )= (X\ A ).

Задание 5. Найдите А∩В, А\В, В\А, А В, если А={-1;0;1;2;3}, В={-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5}.

Задание 6. Решите неравенство: |2х-1|<|x-1|.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X={x_n: x_n=3 sin , n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X=-2 и sup X=2.

Задание 9. Пусть Х,Y непустые, ограниченные множества, Z – множество элементов вида z=x+y (х Х, y Y). Докажите, что inf Z= inf X + inf Y.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что 10-3n- n²≤0 для любого n≥2, n N.

Вариант №4

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании sup ограниченного сверху числового множества.

Задание 3. Определение множества, неограниченного сверху.

Задание 4. Докажите, что X\( A )= (X\A ).

Задание 5. Найдите А∩В, А\В, В\А, А В, если А={-1;0;1;2;3}, В={-3;-2;-1;0}.

Задание 6. Решите неравенство: |х+2|-|x-3|>-5.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X={x_n: x_n= - 2 sin , n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X=0 и sup X=10.

Задание 9. Пусть Х,Y непустые, ограниченные множества, Z – множество элементов вида z=x+y (х Х, y Y). Докажите, что sup Z= sup Х + sup Y.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что n²-3n+7≥0 для любого n N.

Вариант №5

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании inf ограниченного снизу числового множества.

Задание 3. Определение ограниченного множества.

Задание 4. Докажите, что (А\В)∩(В\А)=Ø.

Задание 5. Найдите А∩В, А\В, В\А, А В, если А={-1;0;1;2;3}, В={0;10;20}.

Задание 6. Решите неравенство: |х²+4|+|x-2|<8.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X={x_n: x_n=5 + (-1)ⁿ , n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X=2 и sup X=3.

Задание 9. Пусть Х,Y непустые, ограниченные множества положительных чисел, Z – множество элементов вида z=xy (х Х, y Y). Докажите, что supZ=supХ  supY.

Задание 10 Докажите с помощью метода математической индукции, что 2n-n²<0 для любого n>2, n N.

Вариант №6

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании sup ограниченного сверху числового множества.

Задание 3. Определение множества, ограниченного снизу.

Задание 4. Пусть E= E , при каждом α A существует inf E_α=y_α и существует inf y_α=y₀. Показать, что y₀= inf E.

Задание 5. Найдите А∩В, А\В, В\А, А В, если А=(-5; 3), В=[-2; 4].

Задание 6. Решите неравенство: |х²-4|+|x-2|<8.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X={x_n: x_n=-4 + (-1)ⁿ , n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X=3 и sup X=+∞.

Задание 9. Пусть Х,Y непустые, ограниченные множества положительных чисел, Z – множество элементов вида z=xy (х Х, y Y). Докажите, что inf Z= inf Х  inf Y.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что 4n²-12n+9≥0 для любого n N.