Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПОСОБИЕ первое.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.11.2019

Размер:

452.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

§ 3. Метод математической индукции

СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть множество M R таково, что: 1) 1 M; 2) каково бы ни было натуральное число n M, то и число n+1 M (таким образом N M). Тогда, при выполнении условия M N следует, что М = N.

Следовательно, если мы установим, что утверждение A(x) справедливо при x = 1, и, если из того, что A(x) справедливо при произвольном k N, вытекает его справедливость при k+1, то утверждение A(x) будет верно при всех n N.

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется доказательством методом математической индукции. Такое доказательство состоит из двух частей (из доказательства двух самостоятельных теорем):

Теорема 1. Утверждение справедливо для n = 1.

Теорема 2. Если утверждение справедливо для некоторого натурального числа n, то оно справедливо для n + 1 .

Если обе эти теоремы доказаны, то на основании принципа математической индукции утверждение справедливо для всякого натурального n .

Пример 1. Доказать, что

S_n = + + + …+ = .

Теорема 1. Для n=1 гипотеза верна, так как S₁ = = .

Теорема 2. Предположим, что гипотеза верна для n = k, т. е. что

S_k = + + + …+ = ,

Докажем, что тогда гипотеза обязана быть верной и для n = k+1, т.е. что S_k₊₁ = .

Действительно, S_k₊₁ = S_k+ , следовательно, по условию теоремы,

S_k₊₁ = + = .

Обе теоремы доказаны. Теперь на основании принципа математической индукции мы имеем право утверждать, что S_n = при всяком натуральном n.

Замечание 1. Необходимо подчеркнуть, что доказательство методом математической индукции, безусловно, требует доказательства обеих теорем 1 и 2.

Решая пример 1, мы выдвинули гипотезу S_n = , которая (как было доказано выше) оказалась верной.

Интересно рассмотреть случай «неверной гипотезы»: S_n = (2)

При n=1 формула (2) верна, так как S₁ = .

Предположим, что формула (2) верна при n = k, т. е. S_k = и вычислим S_k_+1
:

S_k₊₁ = + = + = .

Вычисленное значение S_k₊₁отлично от требуемого (S_k₊₁= ), т.е. из справедливости формулы (2) при n=k не следует её справедливость при n= k+1.

Замечание 2. Если рассматриваемое утверждение верно не только при n=1, но и в целом ряде частных случаев, то это еще не означает, что утверждение справедливо при всех n N. Действительно, рассмотрим функцию :

Вычислим несколько первых значений этой функции:

Наблюдательный читатель сразу заметит, что полученные числа (43, 47, 53, 61, 71, 83, 97) являются простыми (т.е. такими, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя). Продолжим вычисления: . Числа 113, 131 и 151 так же являются простыми и вполне естественно возникновение гипотезы: «Для любого натурального числа число является простым числом».

Более того, большинство читателей абсолютно уверено, что обозначенная гипотеза уже доказана. Хотя простая проверка разрушает это предположение.

Рассмотренный пример позволяет сделать простой и в то же время важный вывод: Если утверждение справедливо в целом ряде частных случае, то это не означает, что оно справедливо всегда.

Таким образом, метод математической индукции позволяет в поисках общего закона испытывать возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 2. Вычислить сумму первых n нечётных чисел.

Решение. Обозначим искомую сумму S_n, т. е.

S_n= 1+3+5+7+…+(2n-1).

Придаём n последовательно значения 1, 2, 3, ... до тех пор, пока у нас не накопится достаточно материала, чтобы на основе его построить более или менее надёжную гипотезу. Имеем

S₁ = 1, S₂ = 4, S₃ = 9, S₄ = 16, S₅ = 25, S₆ = 36.

Теперь всё зависит от наблюдательности решающего задачу и от его способности за частными результатами увидеть общий.

Полагаем, что в данном случае легко заметить, что

S₁= 1², S₂= 2² , S₃= 3² , S₄= 4² , S₅= 5².

На основе этого можно предположить, что S_n= n².

Докажем, что выдвинутая гипотеза справедлива.

Теорема 1. При n=1 гипотеза справедлива, т.к. S₁= 1 = 1²

Теорема 2. Допустим, что гипотеза верна для n = k, т.е. S_k= k². Докажем, что тогда гипотеза должна быть верна и для n = k + 1, т.е. S_k₊₁= (k + 1)²

Действительно,

S_k₊₁ = S_k + (2k + 1) = k²+ (2k + 1) = (k + 1)²,

что и требовалось доказать.

Пример 3. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна .

Решение. Эта задача отличается от предыдущих задач тем, что гипотезу здесь строить не надо, она дана. Нужно только доказать, что гипотеза верна.

Обозначим искомую сумму S_n, т. е. S_n =1+2+3+4+…+n.

Теорема 1. При n = 1 гипотеза верна.

Теорема 2. Пусть S_k =1 + 2 + 3 + 4+…+k = . Покажем, что S_k₊₁ = . Действительно,

S_k₊₁ = S_k +(k + 1)= + (k + 1)= .

Задача решена.

Пример 4. Доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

Решение. Сумма 1³+ 2³+ 3³ делится на 9. Значит, утверждение справедливо, когда первым из трёх последовательных натуральных чисел является 1.

Пусть сумма k³+(k+1)³+(k+2)³, где k-некоторое натуральное число, делится на 9. Выражение

(k + 1)³+ (k + 2)³ + (k + 3)³= (k + 1)³+ (k + 2)³+ k³+ 9k²+ 27k + 27 = [k³+ (k + 1)³+ (k + 2)³] + 9(k²+ 3 +3) представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 9, а следовательно, и вся сумма тоже делится на 9.