§ 2. Числовые множества

СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

2.1 Свойства действительных чисел.

Операция сложения.

Для любых двух чисел а и b определено единственным способом число, называемое их суммой и обозначаемое a+b. Сумма обладает свойствами:

1. Для любых двух a и b: a+b=b+a. Это свойство называется переместительным (коммутативным) законом сложения.

2. Для любых a,b,c: a+(b+c)=(a+b)+c. Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения.

3. Существует число 0, называемое нулем, такое, что для любого числа а: а+0=а.

4. Для любого а существует такое число, обозначаемое –а и называемое противоположным данному, такое, что а+(-а)=0.

Далее, вместо а+(-b) будем писать а-b.

Операция умножения.

Для любых двух чисел а и b определено единственным способом число, называемое их произведением и обозначаемое а·b. Произведение обладает свойствами:

5. Для любых чисел а и b: а·b=b·а. Это свойство называется переместительным (коммутативным) законом умножения.

6. Для любых чисел a,b,c: a·(b·c)= (a·b)·c. Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом умножения.

7. Существует число 1, называемое единицей, такое, что для любого числа а: а·1=а.

8. Для любого числа а≠0 существует число, называемое обратным для а и обозначаемое 1/а, такое, что а·(1/а)=1.

Cвязь операций сложения и умножения.

9. Для любых чисел а, b, c: (a+b)·c = a·c + b·c. Это свойство называется распределительным (дистрибутивным) законом умножения относительно сложения.

Упорядоченность.

Для любых двух чисел a и b справедливо одно из соотношений: а<b (а меньше b), а=b (a равно b), a>b (а больше b) так, что выполняются свойства:

10. Если а>b, то для любого с: а+с>b+с.

11. Если а>b, то для любого с>0: а·c>b·c.

Свойство непрерывности.

12. Каковы бы ни были непустые множества А R, В R, у которых для любых элементов аєА, bєB выполняется неравенство а≤b, всегда существует такое число z , что для всех хєА, уєВ: х≤z ≤у.

2.2 Числовые промежутки

Отрезок, интервал, полуинтервал записываются соответственно как

[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b},

(a, b) = {x : a < x < b},

[a, b) = {x : a ≤ x < b}, (a, b] = {x : a < x ≤ b}.

Бесконечные промежутки:

(a, + ) = {x : x > a}, (- , a) = {x : x < a}, (- , + ) = {x : x  R}.

Интервал (a - , a + ), где  > 0, называют -окрестностью точки a и обозначают U_ (a).

2.3 Точные грани числовых множеств

Множество X действительных чисел (X  R) называется ограниченным сверху, если существует число с  R такое, что все элементы множества X не превосходят с, т.е.

 с  R: x X x ≤ с.

Множество X  R называется ограниченным снизу, если существует число d  R такое, что все элементы множества X не меньше d, т.е.

 d  R : x X x  d.

Множество X  R называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу, т.е.

 c  R  d  R: x X c ≤ x ≤ d.

Последнее условие равносильно условию

 g  R : x X | x | ≤ g.

Если множество Х ограничено сверху, то наименьшее из чисел, ограничивающее его сверху, называют его супремумом (supremum).

Число a является супремумом множества Х, если выполняются следующие условия:

1)  x X x ≤ a;

2)  ε >0  x₀ X: x₀ > a - ε.

Cупремум множества Х обозначается sup X.

Если множество Х ограниченно снизу, то наибольшее из чисел, ограничивающее его снизу, называют его инфимумом (infimum).

Число b является инфимумом множества Х, если выполняются следующие условия:

1)  x X x  b;

2)  ε >0  x X: x < b + ε.

Инфимум множества Х обозначается inf X.

Всякое ограниченное сверху (снизу) непустое множество действительных чисел имеет супремум (инфимум).

Если множество не ограничено сверху (снизу), то пишут sup X = +  (соответственно inf X = - ).

2.4 Абсолютная величина вещественного числа

Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само число х, если x0, или число -х, если х<0. Абсолютная величина числа х обозначается символом |х|. Например, |+5|=5; |-5|=-(-5)=5; |0|= 0.

Основные свойства абсолютных величин:

1) |x|  0; 2) |x |= |-x|; 3) -|x| ≤ x ≤|x|;

4) Неравенство |x| ≤ (>0) означает, что - ≤ x ≤ ;

5) Неравенство |x|   ( >0) означает, что либо х  , либо х ≤-;

6) | x±y| ≤ |x|+|y|; 7) |x±y| |x|-|y|; 8) |xy| = |x||y|;

9) | | = (y  0).

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Доказать, что множество X= { 1 , , , …, , } ограничено. Установить, какие числа являются его супремумом и инфимумом.

Решение. При любом натуральном n выполняются неравенства 0< ≤1, поэтому множество X ограничено.

Докажем, что число 1 является супремумом множества X, т.е. что sup X =1. Для этого, надо показать, что для любого >0 существует 1/n такое, что выполняется неравенство

> 1 - .

Докажем теперь, что число 0 является инфимумом множества X. Для этого надо проверить, что для любого >0 существует такое, что выполняется неравенство

< 0 + . (1)

Действительно, неравенство (1), эквивалентно неравенству n > . И взяв какое-нибудь натуральное число n > , получим требуемое n, а это, согласно определению инфимума, и означает, что inf X = 0.

Отметим, что данному множеству X принадлежит его супремум и является его наибольшим числом, а инфимум множества X - 0 не принадлежит X, и в этом множестве нет наименьшего числа.

Пример 2. Найти решения уравнений: 1) |x| = х + 2; 2) |x |= х - 2; 3) х + 2|x| = 3.

Решение. 1) При х 0 х = х + 2, откуда вытекает, что 0 = 2 и т.е. вытекает, что наше уравнение не имеет решений.

При х < 0 получаем, что -х = х + 2, откуда следует, что х = -1 является единственным решением нашего уравнения.

2). При х  0 имеем х = х – 2 (т.е. 0 = -2) и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если же х < 0 получаем, что –х = х - 2, откуда вытекает, что х = 1 > 0, что противоречит сделанному предположению (х<0).

Таким образом, рассматриваемое уравнение не имеет решений.

3). При х  0 имеем х + 2х = 3, откуда х₁ = 1.

При х < 0 получаем х – 2х = 3, откуда х₂ =-3.

Следовательно, х₁ = 1 и х₂ =-3 — решения уравнения.

Пример 3. Решить уравнение |х-5| =х-5.

Решение. По определению, |x|=х при х0. Следовательно, данное уравнение представится в виде х-50, откуда х5.

Пример 4. Решить неравенство |2х - 1| > 2x - 1.

Решение. Так как |x |> x только при х < 0, то неравенство справедливо для тех х, при которых 2х – 1 < 0, откуда х < .

Пример 5. Решить неравенство |x – 3|  2.

Решение. В силу свойств модуля числа (см. 5), x – 3  2 или x–3 ≤ -2, откуда получаем ответ: либо х  5, либо x ≤ 1.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Найти sup X и inf X ,если

1) X={x_n: x_n = }; 2) X={x_n: x_n =1 + };

3) X={x_n: x_n = + + +…+ }.

Задача 2. Приведите примеры числовых множеств X, у которых: a) sup X  X; б) sup X  X; в) inf Х  Х; г) inf Х  Х.

Задача 3. Приведите пример числового множества X, когда inf X = sup X.

Задача 4. Приведите пример числового множества X, когда inf ХХ, a sup XX.

Задача 5. Доказать, что множество Х={... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3...} всех целых чисел не ограничено ни снизу, ни сверху. В этом случае принято писать, что sup X = +  , а

inf X = - .

Задача 6. Доказать, что, каковы бы ни были числа а и b, 0 < а < b,существует такое целое число n>0, что аn>b.

Задача 7. Пусть X и Y — два непустых множества действительных чисел. Доказать, что если Y  X, то: a) sup Y ≤ sup X; б) inf Y  inf X.

Задача 8. Пусть X и Y — два непустых множества чисел, а X+Y – множество всевозможных чисел вида x+y; где xX, yY. Показать, что sup (X+Y) = sup X + sup Y; inf (X+Y) = inf X + inf Y.

Задача 9. Пусть X и Y — два непустых числовых множества неотрицательных действительных чисел, а XY – множество всевозможных чисел вида xy; где xX, yY. Показать, что sup (XY) = (sup X)(sup Y); inf (X·Y) = (inf X)(inf Y).

Задача 10. Пусть X— множество действительных чисел, а -X – множество всевозможных чисел вида y=-x; где xX. Показать, что inf(-X)= - sup X, sup (-X)= - inf X.

Задача 11. Пусть X и Y — два непустых множества неотрицательных действительных чисел, а X-Y – множество всевозможных чисел вида x-y; где xX, yY. Показать, что sup (X-Y) = (supX) – (infY).

Задача 12. Решить уравнения и неравенства:

а) |x| = x + 1; б) |x |< x + 1; в) |x - 2| < 3; г) |x - 1| ³ 2.

Задача 13. Решить уравнения и неравенства:

а) |x² - 5x + 1|= -(x² - 5x + 1); б) |x² -5x + 6| > x² -5x + 6; в) | | > ;

г) | | = .

Задача 14. Решить уравнения и неравенства:

а) |x + 4|=| x - 4|; б) |x - 1| + |1 - 2x| = 2|x|; в) |x - 3| + |x + 3| > 8; г) |x + 3|-|x + 1| ≤ 2.

Задача 15. Решить уравнения:

а) |sin x|- sin x =2; б) x² – 2|x| + 3= 0.

Задача 16. Решить уравнения и неравенства:

а) ||2 - 3x| - 1| > 2; б) ||x| - 2| ≤ 1; в) ||x - 1| + 2| = 1; г) ||x + 1| - 2| = 2.

Задача17. Решить уравнения и неравенства:

а) |(x² + 2x + 5) + (x - 5)| = |x² + 2x + 5| + |x - 5|; б) |(x⁴ - 4x)-(x² + 2)| = |x⁴ - 4x| - |x² + 2|;

в) | x² - 3x| > |x²| - |3x|.

Задача 18. Решить неравенства:

а) |x² - 3x - 3 | > |x² + 7x - 13|; б) |x² - 2x - 3| < 3x - 3.

Задача 19. Решить уравнения и неравенства:

а) |x| - 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0; б) |x - 1| - |x| + |2x + 3| > 3x - 3;

в) x² - |3x + 2| + x = 0; г) x² + 2|x + 3| - 10 ≤ 0.