Хід роботи

Приклад. Ящик масою m₁ = 20 кг зісковзується по ідеально гладкому лотку довжиною l = 2 м на нерухомий візок з піском і застряє в ньому. Візок з піском масою m₂ = 80 кг може вільно (без тертя) переміщуватись по рейках в горизонтальному напрямку. Визначити швидкість и візка з ящиком, якщо лоток нахилений під кутом  = 30⁰ до рейок.

Розв’язок. Візок і ящик можна розглядати як систему двох тіл, які непружньо взаємодіють. Але ця система не замкнена, так як сума зовнішніх сил, яка діє на систему: двох сил тяжіння і та сили реакції (див.рис.) не дорівнює нулю. Тому застосувати закон збереження імпульсу до системи ящик-візок не можна. Але так як проекція суми вказаних сил на напрямок осі х, яка співпадає з напрямком рейок, дорівнює нулю, складову імпульсу системи в цьому напрямку можна вважати постійною, тобто

р_1х + р_2х = р^/_1х + р^/_2х,

де р_1х і р_2х – проекції імпульсу ящика і візка з піском в момент падіння ящика на візок; р^/_1х і р^/_2х – ті самі величини після падіння ящика.

Виразимо в рівнянні імпульси тіл через їх маси і швидкості, враховуючи, що р_2х = 0 (візок до взаємодії з ящиком покоївся), а також той факт, що після взаємодії обидва тіла системи рухаються з однією швидкістю и:

m₁υ_ix = (m₁ + m₂) и, або m₁υ_i cos  = (m₁ + m₂) и,

де υ_i – швидкість ящика перед падінням на візок; υ_ix = υ_i cos  – проекція цієї швидкості на вісь х.

Звідси виразимо шукану швидкість:

Швидкість υ₁ визначимо за законом збереження енергії: ,

де h = l sin .

Після скорочення на m₁ знайдемо:

Підставивши визначений вираз υ₁ в формулу, одержимо:

Підставимо сюди числові значення величин і проведемо розрахунки:

Задачі

1. М'яч масою 300 г упав з висоти 1,23 м на асфальт і підскочив на таку саму висоту. Тривалість удару об асфальт становить 0,1 с. Знайдіть середню силу удару F_с. Як зміниться ця сила, якщо м'яч удариться об тверду поверхню, нахилену під кутом 30° до горизонту? Якою буде F_с, якщо в обох випадках м'яч замінити пластиліновою кулею такої самої маси? Тривалість удару вважайте такою самою.

2. На скільки зміститься нерухомий човен масою 280 кг, якщо людина масою 70 кг перейде з його носа на корму? Відстань від носа до корми дорівнює 5м. Опором води мож­на нехтувати.

3. Гармата масою 800 кг вистрілює ядро масою 10 кг з початковою швидкістю 200 м/с відносно Землі під кутом 60° до горизонту. Яка швидкість відкочування гармати? Тертям можна знехтувати.

4. Якої швидкості набуває візок, якщо в нього зісков­зне з пагорба камінь (див. рису­нок)? Тертям можна знехтувати.

5. Куля масою 10 кг завдала непружного прямого удару кулі масою 4 кг. Швидкість першої кулі становить 4 м/с, другої ⎯ 12 м/с. Визначити спільну швидкість куль після удару у двох випадках: 1) менша куля наздоганяє більшу кулю, рухаючись у тому ж напрямку, що і перша; 2) кулі рухаються назустріч одна одній.

6. Автомобіль масою 2 т розганяється з місця на гору з ухилом 0,02. Коефіцієнт опору 𝜇 = 0,05. Автомобіль на­буває швидкості 97,2 км/год на ділянці завдовжки 100 м. Яку середню потужність розвиває двигун?

7. Камінь масою 10 кг піднімають на висоту 10 м, прикладаючи сталу силу 200 Н. Яку роботу при цьому виконує дана сила? Чому дорівнює зміна потенціальної енергії? Як узгоджуються одержані відповіді із законом збереження енергії?

8. Автомобіль може втриматись за допомогою гальм на ділянці гірської дороги з ухилом, що не більший за 𝛼 = 30°. Який гальмівний шлях цього автомобіля на горизонтальній ділянці такої ж дороги, якщо швидкість становить 72 км/год?

9. Визначити роботу, яка здійснюється при піднятті вантажу по похилій площині, якщо маса вантажу 100 кг, довжина похилої площини 2 м, кут нахилу 30°, коефіцієнт тертя 0,1, а вантаж рухається з прискоренням 1 м/с².

10. Визначити роботу, яка здійснюється на шляху 12 м, силою, що рівномірно зростає. На початку шляху дана сила дорівнювали 10 Н, в кінці ⎯ 46 Н .

11. Матеріальна точка масою 2 кг під дією деякої сили рухається за законом:

= 10 ⎯ 2t + .

Визначити потужність, що затрачається на рух точки в момент часу:

t₁ = 2 с , t₂ = 5 с.

12. Диск обертається за законом, що визначається рівнянням:

𝜑 = 2 + 32t ⎯ 4 .

Визначити середню потужність, яку розвивають сили для повної зупинки диску. Момент інерції диску становить 100 кг·м².

13. Диск обертається за законом, що визначається рівнянням:

𝜑 = 2 + 16t ⎯ 2 .

Момент інерції диску становить 50 кг·м². Записати закони зміни обертального моменту та потужності. Визначити потужність у момент часу t = 3 с.

14. Ядро атома розпадається на два уламки масами 1,6·10^-25кг та 2,4·10^-25 кг. Визначити кінетичну енергію другого уламку, якщо енергія першого становить 18 нДж.

15. Ядро атома розпадається на два уламки масами 10^-25 кг та 3·10^-25 кг. Визначити кінетичну енергію кожного з уламків, якщо їх загальна кінетична енергія становить 32 пДж. Кінетичною енергією і імпульсом атома до розпаду можна знехтувати.

16. У балістичний маятник масою 5 кг потрапила куля масою 10 г і застрягла. Визначити швидкість кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту 10 см.

17. Куля, що рухалася зі швидкістю 5 м/с, налітає на нерухому кулю. Удар непружній. Визначити швидкість куль після удару та роботу деформації. Розглянути два випадки: 1) маса рухомої кулі 2 кг, маса нерухомої 8 кг; 2) маса рухомої кулі 8 кг, маса нерухомої 2 кг.

18. На краю горизонтальної платформи, яка має форму диску радіусом 2 м, знаходиться людина. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі, яка проходить через її центр. Визначити кутову швидкість обертання платформи, якщо людина буде рухатися вздовж її краю із швидкістю 2 м/с відносно платформи. Маса платформи М = 200 кг, маса людини m = 80 кг. Тертям можна знехтувати.

19. На краю горизонтальної платформи, яка має форму диску радіусом 2 м, знаходиться людина. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі. Визначити кут повороту платформи, при умові, що людина, пройшовши по краю платформи, повернеться у вихідне положення. Маса платформи 240 кг, маса людини 60 кг. Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

20. Платформа, яка має форму диску радіусом 2 м, обертається за інерцією з частотою 6 об/хв. На краю платформи знаходиться людина, маса якої 80 кг. Визначити частоту обертання платформи, якщо людина переміститься в центр платформи. Момент інерції платформи становить 120 кг·м². Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

Питання для самоконтролю знань

1. Імпульс тіла. Імпульс сили.

2. Закон збереження імпульсу. Межі застосування.

3. Механічна енергія.

4. Кінетична та потенціальна енергія тіла.

5. Закон збереження повної механічної енергії. Межі застосування.

6. Консервативні сили.

7. Момент імпульсу.

8. Закон збереження моменту імпульсу.

9. Робота та потужність.

Практична робота № 4

Застосування законів динаміки твердого тіла

Мета: розглянути елементи динаміки твердого тіла; ознайомитися із різними випадками застосування основного рівняння динаміки обертального руху; провести аналогію між поступальним та обертальним рухами.

Основні теоретичні відомості

Основне рівняння динаміки обертального руху в загальному випадку:

Mdt = d (J 𝜔),

де M − момент сили, що діє на тіло впродовж часу dt, J − момент інерції тіла, 𝜔 − кутова швидкість, J𝜔 − момент імпульсу.

Якщо момент сили та момент імпульсу є сталим, то рівняння має вигляд:

M𝛥t = J𝛥𝜔 .

Випадок сталого моменту інерції:

M = J𝛽,

де 𝛽 – кутове прискорення.

Момент імпульсу матеріальної точки:

L = m𝜗r

або

L = J𝜔,

де m − маса точки, 𝜗 − лінійна швидкість точки, r − відстань від точки до осі, відносно якої визначається момент імпульсу.

Момент сили відносно осі обертання:

M = Fℓ,

де плече ℓ є найкоротшою відстанню від осі обертання до лінії дії сили F,

або M = Fr sin𝛼,

де r − відстань від осі обертання до точки прикладання сили, 𝛼 − кут між напрямком дії сили та радіус-вектором r, проведеним від осі обертання до точки прикладання сили.

Момент інерції матеріальної точки:

J = mr².

Момент інерції твердого тіла:

J =

де r_і − відстань від елемента маси 𝛥m_і до осі обертання. Інтегральний вигляд формули:

J = .

Якщо тіло однорідне (його густина стала по всьому об'єму), то маса визначається за формулою:

dm = 𝜌dV .

Момент інерції визначається за формулою:

J = 𝜌 ,

де інтегрування здійснюється по всьому об'єму тіла V.

Момент інерції деяких тіл правильної геометричної форми

Тіло і вісь, відносно якої визначається момент інерції	Момент інерції
Однорідний тонкий стержень масою m та довжиною ℓ. Вісь проходить через центр маси стержня перпендикулярно до нього	J = 1/12mℓ2
Однорідний тонкий стержень масою m та довжиною ℓ. Вісь проходить через кінець стержня перпендикулярно до стержня	J = 1/3mℓ2
Тонке кільце, труба радіусом R та масою m. Вісь проходить через центр перпендикулярно до площини основи	J = mR2
Круглий однорідний диск (циліндр) радіусом R та масою m. Вісь проходить через центр диску перпендикулярно до площини основи	J = 1/2mR2
Однорідна куля масою m та радіусом R. Вісь проходить через центр кулі	J = 2/5Mr2