Хід роботи

Приклад. Через блок у вигляді суцільного диска, який має масу m = 80 г (рис.), перекинута тонка, гнучка нитка, до кінців якої підвішені вантажі з масами m₁ = 100 г і m₂ = 200 г. З яким прискоренням будуть рухатись вантажі самі по собі? Тертям і масою нитки знехтувати.

Розв’язок. Скористаємося основними рівняннями динаміки поступального і обертального рухів. Для цього розглянемо сили, які діють на кожний з вантажів і на блок окремо. На перший вантаж діють дві сили: сила тяжіння і сила пружності (сила натягу нитки) Спроектуємо ці сили на вісь х, напишемо рівняння руху (другий закон Ньютона) в координатній формі:

m₁g – T₁ = -m₁a. (1)

Рівняння руху для другого вантажу запишеться аналогічно:

m₂g – T₂ = -m₂a. (2)

Під дією двох моментів сил і відносно осі, перпендикулярної площині креслення, блок отримає кутове прискорення  ( = а / r). Згідно основного рівняння динаміки обертального руху

(3)

де – момент інерції блоку (суцільного диску) відносно до осі Z.

Сила , згідно третьому закону Ньютона, за абсолютним значенням дорівнює силі Т₁. Відповідно, сила за абсолютним значенням дорівнює силі Т₂. Скориставшись цим, підставимо в рівняння (3) замість і вираз для Т₁ і Т₂, які отримали попередньо з рівнянь (1) і (2):

Після скорочення на r та перегрупування членів знайдемо прискорення, яке нас цікавить:

(4)

Відношення мас у правій частині формули (4) є величина безрозмірна. Тому маси m₁, m₂ і m можна виразити в грамах, як вони надані в умові задачі. Прискорення треба виразити в одиницях СІ. Після підстановки одержимо:

Задачі

1. До кінців шнура, перекинутого через блок, підвісили вантажі з масами 100 г і 150 г. Знайдіть прискорення вантажів, силу натягу шнура і показання ди­намометра, на якому висить блок. (Нитки вважаються невагомими та нерозтяжними; блоки вважаються невагомими, тертям в осях блоків можна знехтувати.)

2. Знайдіть при­скорення а₁ і а₂ зображе­них на рисунку вантажів і силу натягу Т нитки, якщо вважати, що їх маси m₁ та m₂ відповідно. (Нитки вважаються невагомими та нерозтяжними; блоки вважаються невагомими, тертям в осях блоків можна знехтувати.)

3. У вагоні потяга, який рухається зі швидкістю 72 км/год, зважують на пружинних вагах тіло масою 5,0 кг. Знайдіть показання Р пружинних терезів, якщо потяг рухається по заокругленню, радіус якого 400 м.

4. З якою силою тисне водій на крісло швидкісного автомобіля на віражі, якщо маса водія 70 кг, швидкість автомобіля 200 км/год, радіус заокруглення дороги 50 м? У скільки разів ця сила більша за вагу водія, який перебуває в спокої?

5. На гладенькому горизонтальному столі ле­жать два зв'язані бруски масами 𝑚₁= 400 г і 𝑚₂ = 600 г. До одно­го з них прикладена горизонтальна сила Р = 2 Н. Знайдіть силу Т натягу нитки, якщо силу прикладено до: а) першого бруска; б) другого бруска.

6. Два вантажі масами М₁ і М₂, зв'язані шнуром, лежать на горизонтальній поверхні. Шнур витримує силу натя­гу Т. Коефіцієнт тертя між кожним із вантажів і поверхнею дорівнює 𝜇. З якою сталою силою Р можна тягнути перший ван­таж паралельно шнуру, щоб шнур не порвався?

7. Два вантажі масами т₁ і т₂ зв'язані ниткою, перекинутою через нерухо­мий блок (див. рисунок). Вантаж масою т₁ відпускають без поштовху. З яким приско­ренням а відносно стола рухаються вантажі, якщо коефіцієнт тертя другого вантажу об стіл дорівнює 𝜇? Яка сила Т натягу нитки? Як зміниться відповідь, якщо всю систему помістити в ліфт, що рухається з прискорен­ням, напрямленим угору?

8. Чавунне ядро масою т падає у воді зі сталою швидкістю 𝜗. З якою силою F слід тягнути його вгору, щоб во­но піднімалось зі сталою швидкістю 2𝜗? Сила опору прямо пропорційна до значення швидкості.

9. Тіло зісковзує без початкової швидкості з похилої площини. Кут нахилу площини до горизонту становить 30°, довжина похилої площини ℓ=2 м. Коефіцієнт тертя тіла об площину 𝜇 = 0,3. Яке прискорення тіла? Скільки часу триває рух?

10. У зображеній на рисунку системі 𝛼 = 20°, т₁ = 2 кг, т₂ = 1 кг. Кое­фіцієнт тертя між першим вантажем і похи­лою площиною 𝜇= 0,1. Вантажі відпус­кають без початкової швидкості. Знайдіть прискорення а системи вантажів і силу натягу нитки Т. Як зміниться результат, якщо коефіцієнт тертя збільшиться до 0,3?

11. Кут 𝛼 між похилою площиною і горизонталлю збільшують від 0° до 90°. На площині міститься ящик масою т. Коефіцієнт тертя дорівнює 𝜇. Побудуйте графік залежності сили тертя F_Т від кута 𝛼. Чому дорівнює максимальне значення сили тертя?

12. Якщо нахилити дошку під кутом 𝛼 до горизонту, цеглина рухатиметься по ній практично рівномірно. За який час цеглина пройде всю дошку, нахилену під кутом 𝛽 >𝛼? Довжина дошки дорівнює ℓ.