23. Запитання для самоконтролю.

1. Що називаємо модулем та аргументом комплексного числа?

2. Який зміст можуть мати символи ,, ” та ,, ”?

3. Як слід розуміти символ ,, ”?

4. Запишіть формулу Муавра.

5. Сформулюйте означення кореня n-го степеня з компексного числа і доведіть формулу для його знаходження.

6. Який зміст мають символи ,, ” та ,, ”?

7. Сформулюйте означення та доведіть, що .

8. Сформулюйте означення логарифма комплексного числа і виведіть формулу для знаходження логарифмів.

9. Який зміст можуть мати символи ,, ” та ,, ”?

10. Як Ви розумієте символ ,, ”?

11. Сформулюйте означення .

12. Який зміст можуть мати символи ,, ” та ,, ”?

13. Скільки різних значень може приймати ? Для яких та ця кількість є скінченною?

14. Що називаємо синусом комплексного числа?

15. Доведіть, що .

16. Доведіть, що .

17. Чи існують такі , для яких нерівність не виконується.

24. Вправи і задачі.

1.1. Знайдіть модуль і головне значення аргументу комплексного числа :

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31. . 32. .

33. . 34. .

35. . 36. .

37. . 38. .

39. 40.

41. . 42. .

43. . 44. .

45. . 46. .

47. . 48. .

49. . 50. .

1.2. Доведіть:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. .

1.3. Запишіть комплексне число в показниковій і тригонометричній формах:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. , . 11. .

1.4. Запишіть комплексне число в алгебраїчній формі:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

1.5. Знайдіть:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

1.6. Знайдіть:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

1.7. Які знаки можна поставити між множинами , та ?

1. , , .

2. , , .

1.8. Знайдіть , , AB і з’ясуйте, чи :

1. , . 2. , .

3. . 4. . 5. .

1.9. Виходячи з означення i , доведіть формули:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

1.10. Розв’яжіть рівняння:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

1.11. Доведіть, що для всіх виконується

.

1.121. Доведіть, що для всіх виконується

.

1.13. Доведіть, що для всіх виконується:

1. .

2. .

1.14. Нехай , ,..., – різні значення . Доведіть, що

.

1.15. Знайдіть границі:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

1.16. Для яких збіжними в є послідовності?

1. . 2. . 3. .

1.17. Знайдіть часткові границі послідовностей:

1. . 2. .

1.18. Наведіть приклад послідовності точок із правої півплощини граничними точками якої є всі точки уявної осі.

1.19. Дослідіть на збіжність ряди:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

1.20. Напишіть рівняння дотичної до шляху точці , де – середина вказаного проміжку і . Які з цих шляхів є гладкими, кусково-гладкими, жордановими, еквівалентними, замкненими?

1. , . 2. , .

3. , . 4. , .

5. , . 6. , .

7. , . 8. , .

9. , . 10. , .

11. , .

1.21. Зобразіть множини. Які з цих множин є областями (однозв’язними, двозв’язними і т.д.)?

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. . 23. . 24. . 25. . 26. . 27. . 28. . 29. . 30. . 31. . 32. . 33. . 34. . 35. . 36. .

37. . 38. .

39. .

40.

.

1.22. Знайдіть шлях, який є параметризацією межі області :

1. . 2. .

3. . 4. .

5. .

1.23. Доведіть формули (тут ):

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. .

10. .

11. , якщо .

12. , якщо .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .