Розділ 1

Розділ 1. Множини комплексних чисел та функції

1. Означення і найпростіші властивості комплексних чисел. Дійсне число будемо позначати так: . Зокрема, , , . Комплексним числом z називається упорядкована пара дійсних чисел та . Сумою і добутком комплексних чисел і називаються комплексні числа , відповідно. Число називається уявною одиницею. Легко переконуємось, що і кожне комплексне число можна записати в алгебраїчній формі . В алгебраїчній формі комплексні числа додаються і множаться відповідно так:

, .

Число називається дійсною частиною комплексного числа і позначається , а число – уявною частиною і позначається . Два комплексні числа називаються рівними, якщо рівними є їх дійсні та уявні частини. Число , називається комплексно спряженим до числа . Число називається модулем комплексного числа . Будемо використовувати наступні співвідношення

, ,

,

які випливають безпосередньо з означення та нерівності . Часткою комплексних чисел і називається таке комплексне число , що . З означення випливає, що

.

Різницею двох комплексних і називається таке комплексне число , що . З означення випливає, що . Множину всіх комплексних чисел позначають через .

Приклад 1. Якщо , , то

.

2. Арифметичні операції над множинами. Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з однакових елементів. Прямою сумою, прямою різницею, прямим добутком та прямою часткою двох числових множин та називаються множини , , і , елементами яких є, відповідно, всі суми , різниці , добутки та частки , де і . Добутком числової множини на число називається множина . Прямим степенем числових множин та та називається множина . Зокрема, множина , де , складається з всіх елементів , де . Інколи пишуть замість , хоч, наприклад, позначення використовують і для декартового квадрата множини .

Приклад 1. Якщо і , то , , , , .

3. Аргумент комплексного числа. Кожній точці площини відповідає одне і тільки одне комплексне число . Тому множину комплексних чисел називають ще комплексною площиною і її, як і множину всіх комплексних чисел позначають через . Кожному комплексному числу відповідає єдиний вектор на площині з координатами і початком в точці . Цей вектор називається радіусом-вектором комплексного числа . Тоді – це довжина радіуса-вектора комплексного числа . Кут між векторами і вимірюваний від вектора , називається аргументом комплексного числа . Число не має

y

x

x

O

Рис. 1

аргументу (інколи зручно вважати, що кожне дійсне число є аргументом числа 0). Аргумент комплексного числа визначається не однозначно. Множину всіх аргументів числа позначають через . Значення , яке лежить в межах позначають інколи через . Значення , яке належить проміжку називається головним значенням і позначається через . Справедливі формули:

,

,

Останні рівності слід розуміти як рівності між множинами (дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з однакових елементів). Для знаходження головного значення аргументу числа справедлива формула

(1)

Точніше кажучи, головним значенням аргументу комплексного числа називається число , визначене рівністю (1). Множина називається множиною аргументів числа . Інколи головне значення аргументу береться з проміжку (тоді формулу (1) потрібно відповідним чином змінити), а символами “ ” і “ ” позначають довільний елемент множини аргументів та інші речі. Тому в кожній конкретній ситуації потрібно з’ясовувати зміст цих символів.

Оскільки для кожного і кожного маємо i , де , то кожне комплексне число можна записати в тригонометричній формі

, (2)

де . Навпаки, якщо записане у формі (2), де i , то i . Якщо

, ,

то

,

.

Отож, справедливі формули (перші дві рівності слід розуміти як рівності між множинами)

, ,

,

де , , . Остання формула називається формулою Муавра. Два комплексні числа і називаються рівними, якщо рівними є їх дійсні і уявні частини. Два комплексні числа і є рівними тоді і тільки тоді, коли рівними є їх модулі, а аргументи відрізняються на доданок .

Множина всіх комплексних чисел є метричним простором з відстанню . Водночас, на множині комплексних чисел не вводиться поняття порядку, тобто не можна, взагалі кажучи, говорити, що одне з комплексних чисел є більшим за інше. В той же час, кожне дійсне число х є комплексним числом .

Приклад 1. , , , .

Приклад 2. Знайдемо модуль та головне значення аргументу числа . Нехай . З малюнка видно, що . До цього ж результату приходимо скориставшись формулою (1). Згідно з нею

,

б

iy

о .

-3

x

- 7i

Z

Рис. 2

4. Експонента комплексного числа і показникова його форма. За означенням для довільного комплексного числа

. (1)

Цією рівністю визначається для кожного числа . Якщо , то . Тому для використовують також позначення . Безпосередньо з означення і властивостей функції , та в дійсній області випливає, що (тут , , , )

, .