- •Розділ 5. Лишки та їх застосування до знаходження інтегралів
- •2. Основна теорема про лишки.
- •Приклад 1. Згідно зі сказаним вище, якщо , то
- •4. Знаходження деяких невласних інтегралів.
- •5. Лема Жордана.
- •7.1. Знаходження інтегралів .
- •7.2. Знаходженя інтегралів .
- •7.3. Знаходженя інтегралів .
- •9. Запитання для самоконтролю.
- •10. Вправи і задачі до п’ятого розділу.
Лишки…
Розділ 5. Лишки та їх застосування до знаходження інтегралів
1. Означення і обчислення лишків. Лишком або залишком в точці функції , голоморфної в деякому проколеному околі точки a, називається інтеграл
(1)
де є таким, що функція, що є голоморфною в для для деякого .
Теорема 1. Лишок в точці функції , голоморфної в деякому проколеному околі точки , знаходиться за формулою
(2)
де – відповідний (тобто з номером “-1”) коефіцієнт лоранового розвинення функції в околі точки .
Доведення. Ця теорема випливає безпосередньо із означень. ►
Теорема 2. Якщо в точці функція має простий полюс, то
.
Доведення. Справді,
.►
Наслідок 1. Нехай , функції і є голоморфними в точці , і має в точці простий нуль. Тоді .
Доведення. Справді, оскільки , то
.►
Терема 3. Якщо в точці функція має полюс порядку , то
.
Доведення. Справді, це випливає з рівності
.►
Зауважимо, що якщо є усувною особливою точкою, то . Це випливає з теореми Коші. Приклад показує, що для сказане вище не є справедливим. Отож, лишки природно рахувати в скінчених неусувних ізольованих особливих точках, а також в , якщо функція є голоморфною в деякому проколеному околі .
Приклад 1. Функція в точці має полюс другого порядку . Тому
.
Приклад 2. Якщо , то
, .
Приклад 3. Якщо , то
,
,
, .
Приклад 4. Знайдемо лишки в усіх ізольованих особливих точках функції . Особливими точками є а1 = 1 – простий полюс, а2 = 0 – істотно особлива точка, a3= – усувна особлива точка.
, , бо . Лишок в точці 0 знайдемо за формулою (2). Оскільки , а , то .
2. Основна теорема про лишки.
Теорема 1. Нехай межа обмеженої області складається зі скінченого числа замкнених жорданових спрямлюваних кривих, , – деякі точки області , а функція є голоморфною в і неперервною в . Тоді
.
Доведення. Нехай , де числа є настільки малими, що . Тоді за узагальненою теоремою Коші застосованою до області отримуємо
,
звідки випливає потрібне. ►
Теорема 2. Нехай існує точок таких, що функція є голоморфною в області . Тоді сума всіх залишків функції дорівнює нулеві, тобто
.
Доведення. Нехай є таким, що для всіх , а
де є настільки малими, що круги не перетинаються і лежать в . Тоді згідно з теоремою Коші
,
звідки випливає потрібне. ►
Приклад 1. Для знаходження інтегралу
зауважимо, що скінчені особливі точки підінтегральної функції лежать в крузі . Тому згідно з теоремами 1 та 2
.
Але і лишок підінтегральної функції в дорівнює 0. Отож,
.
Приклад 2. Для знаходження інтегралу
зауважимо, що і підінтегральна функція в крузі має дві особливі точки та , які є простими полюсами. Тому
.
3. Знаходження інтегралів деяких тригонометричних функцій. Розглянемо інтеграл
, , ,
де – раціональна функція двох змінних. Нехай . Тоді
, ,
.
Тому
,
де – раціональна функція. Якщо на функція не має особливих точок, то за основною теоремою про лишки
,
де – особливі точки .