7.1. Знаходження інтегралів .

Теорема 1. Нехай , – скінчена множина точок із , які не лежать , функція є голоморфною області і , якщо . Тоді

,

де , .

Доведення. Нехай . Функція , , є голоморфною в області і неперервною на замиканні V. За основною теоремою про залишки

.

Перейшовши до границі, коли та , одержуємо

,

бо , ,

звідки випливає потрібне. ►

Приклад 1. Для знаходження інтегралу розглянемо функцію . Ця функція має прості полюси в точках та , і виконуються всі умови теореми 1. Тому

,

де – голоморфна гілка відповідної багатозначної функції в , яка в точці 1 приймає значення .

Приклад 2. Покажемо, що

,

якщо , – раціональна функція, – множина її полюсів, причому . Справді, оскільки , то

.

Тому

.

Але для великих

.

Звідси отримуємо потрібний висновок.

7.2. Знаходженя інтегралів .

Даний інтеграл шляхом заміни можна звести до попереднього випадку, але в ряді випадків його простіше обчислити безпосередньо.

Теорема 2. Нехай , – скінчена множина точок із , які не лежать на , функція є голоморфною області і , коли . Тоді

= ,

де , , .

Приклад 3. Обчислимо . Тут задовольняє умови поперердньої теореми і . Тому .

7.3. Знаходженя інтегралів .

Теорема 3. Нехай , , – скінчена кількість точок із півплощини , функція є парною голоморфною в області , задовольняє умову . Тоді

,

де та гілка функції Ln z, що ln 1=0.

Доведення теорем 2 і 3 можна знайти в [25, c. 140].

Приклад 4. Обчислимо інтеграл .

Розглянемо функцію . Ця функція має полюси другого порядку в точках та і виконуються всі умови теореми 1. Тому

.

8. Поняття про перетворення Лапласа. Функція

(1)

називається перетворенням Лапласа функції і позначається , а оператор , який функції ставить у відповідність функцію за формулою (1), називається оператором Лапласа.

Теорема 1. Якщо для деякого функція є абсолютно інтегровною на , то функція є голоморфною в півплощині і неперервною в її замиканні.

Доведення. Справді, . Тому інтеграл (1) є рівномірно збіжним в . Залишилось зауважити, що для кожного підінтегральна функція, як функція , є цілою та скористатись теоремою 4.1.4. ►

Теорема 2. Якщо функція задовольняє умови теореми 1, є кусково-диференційовною на і , то для кожного

.

Доведення. Нехай

Тоді

Отже, для кожного функція є перетворенням Фур’є функції . Тому в кожній точці неперервності функції маємо

,

,

.

Звідси випливає потрібне. ►

Наслідок 1. Якщо функція задовольняє умови теореми 2, є неперервною на і , то для кожного і кожного маємо

Теорема 3. Якщо функція задовольняє умови теореми 1, то для кожного маємо

,

тобто , якщо , і ,

тобто , якщо .

Теорема 4. Якщо функція задовольняє умови теореми 1, то

, ,

тобто , якщо .

Теорема 5. Якщо функції і задовольняють умови теореми 1 і

,

то , де , і –перетворення Лапласа , і відповідно.

Теорема 6. Якщо функція задовольняє умови теореми 1,то

, ,

тобто , якщо .

Теорема 7. Якщо функція задовольняє умови теореми 1, то , якщо , і, зокрема, якщо , то .

Теорема 8. Якщо функція задовольняє умови теореми 1, то для кожного

,

тобто , якщо .

Доведення теорем 3-8 проводиться безпосередньою перевіркою. ►

Приклад 1. Якщо , то .

Приклад 2. Якщо , то

.

Приклад 3. Знайдемо розв’язок диференціального рівняння , який задовольняє початкові умови і . Нехай . Тоді і . Тому для знаходження маємо рівняння . Отже, . Отож, .