Оскільки

, (2)

то кожне комплексне число можна записати в показниковій формі

, (3)

де i – будь-яке значення . Навпаки, якщо комплексне число має вигляд (3), де і , то i .

Приклад 1. Нехай . Тоді , і .

Приклад 2.

Приклад 3. , .

Приклад 4. , , .

5. Корінь n-го степеня комплексного числа. Коренем -го степеня, де , комплексного числа називається таке число , для якого . Множина всіх коренів -го степеня з числа z позначається через . Цим же символом позначається довільний елемент цієї множини. Якщо , , то , . Тому

, ,

або

, ,

де – будь-яке значення аргументу і – арифметичне значення кореня -го степеня з невід’ємного числа . Оскільки

,

то для існує n різних значень .

Приклад 1.

, .

Тому

,

,

.

Приклад 2. і аналогічно приходимо до висновку, що , якщо .

6. Компактифікація множини комплексних чисел. Інколи множину комплексних чисел доповнюють одним символом . При цьому вважають, що і для кожного комплексного числа z виконується , , i, якщо , . Символам не приписують жодного змісту. Множину комплексних чисел доповнену символом називають розширеною комплексною площиною або сферою Рімана і позначають через .

Рис. 1

Множину можна ототожнити зі сферою (сферою Рімана) з центром в точці (0;0;1/2) і радіусом за допомогою стеографічної проекції (так як вказано на рисунку). При цьому точці відповідає точка (0;0;1) (полюс сфери), а точці – точка , де

.

За такої відповідності колу або прямій на площині відповідає коло на сфері і навпаки. Множина також є метричним простором з відстанню (хордальна відстань – довжина хорди, що з’єднує точки і на сфері)

, , ,

, .

Простір , на відміну від простору , є компактом.

7. Логарифм комплексного числа. Логарифмом комплексного числа z називається таке число w, яке є розв’язком рівняння . Множина всіх таких чисел w позначається через . Нехай i , де i – одне із значень . Для знаходження кожного маємо рівняння

.

Два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівними є їх модулі і їх аргументи відрізняються на доданок , де . Тому знайдеться таке, що

Отже, якщо число є розв’язком рівняння , то існують такі та , що . Оскільки , то кожне число є розв’язком рівняння . Отож,

(1)

– множина розв’язків рівняння , тобто множина логарифмів числа . Символом позначають часто також довільний елемент множини розв’язків рівняння і рівність (1) записують, як правило, так (це стосується і інших подібних формул):

, , (1’)

або

, (2)

, , (3)

де – головне значення логарифма ( ). Інколи використовують позначення . Отож, всі значення логарифма отримують із одного шляхом додавання . З (2) і властивостей випливає, що

, . (4)

Приклад 1. , а , де (правильнішими були б записи , .

Приклад 2. , .

Приклад 3. . Проте , принаймні для деяких , бо .