Анализ целесообразности проведения экспериментов

Пусть в результате проведения единичного эксперимента может появиться k исходов: . Предположим, что имеются вероятности . Множество состояний природы: . Обозначим — вероятность появления исхода эксперимента при состоянии природы .

.

Ясно, что для каждого j: .

Считаем, что матрица W известна статистику. Кроме этого известна матрица выигрышей , которая получена статистиком, используя стратегию в состоянии природы .

Статистику известна стоимость проведения единичного эксперимента – с.

Анализируя эту информацию, статистик должен дать ответы на два вопроса:

1. Целесообразно или нет проведение эксперимента.

2. Какую из решающих функций необходимо при этом использовать, если эксперимент будет проводиться.

Рассмотрим обоснования для оценки ответа на первый вопрос.

Пусть в результате эксперимента произошел некоторый исход . Апостериорные вероятности состояния природы обозначим в виде . Эти вероятности определяют некоторую матрицу , которую можно определить через апостериорные вероятности по формуле Байеса: .

С помощью апостериорных вероятностей для каждой из чистых стратегий статистика можно определить условно средний выигрыш

Оптимальную стратегию .

Величины являются случайными величинами, вероятность их появления совпадает с вероятностью исхода эксперимента.

Обозначим через вероятность l-ого исхода эксперимента. Она будет определяться вероятностью исхода при всех состояниях природы:

Тогда дополнительный выигрыш, который можно получить при проведении единичного эксперимента определяется следующим образом:

.

Если , то эксперимент проводить стоит, если же наоборот, то не стоит.

Статистические игры с последовательными выборками

1. Общие сведения

При рассмотрении игры с единичным экспериментом эксперимент может состоять либо из одного опыта, либо из последовательности опытов с оговоренным их числом. Результаты каждого опыта можно представить в виде: - последовательность результатов опытов. Эту последовательность можно рассматривать как выборку заданного объема N. Поэтому игру с единичным экспериментом называют игрой с заданным объемом выборки.

Решение в такой игре принимается после осуществления всех N испытаний. Однако статистик может принимать решения, основываясь не на всех N опытах, а на некоторой их части.

После каждого опыта статистику приходится решать вопросы:

- продолжать эксперимент, добавляя число опытов;

- закончить дальнейшее проведение опыта и принять решение.

Эта дилемма расширяет план возможных стратегий статистика, так как к его чистым стратегиям добавляются новые стратегии о продолжении эксперимента. Такие игры называются играми с последовательными выборками.

В общем случае последовательные выборки не обязательно предполагают их конечность. Для подчеркивания того факта, что имеют дело с ограниченным объемом выборки, игры называют играми с усеченными последовательными выборками.

Ниже будем рассматривать такие игры.

Отдельные результаты опытов будем называть наблюдениями.

Если бы проведение всех опытов ничего не стоило, то статистик ничего бы не потерял, проведя все N опытов. Однако каждый из опытов стоит времени и материальных затрат. Естественно, что статистик на каждой стадии общего эксперимента должен сопоставлять стоимость получения дополнительных наблюдений с выигрышем от полученной дополнительной информации.

Рассмотрим далее способ описания игры с усеченными последовательными выборками.

Пусть j — номер опыта, j=1,2,…N.

— множество исходов этого опыта. Тогда полное пространство Y — множество всевозможных исходов опытов .

В игре с последовательными выборками допускается принятие решения на основе первых j наблюдений: — исходы j опытов.

В связи с таким подходом полное множество У можно разбить на непересекающиеся подмножества таких, что если то решение принимается на основании наблюдений . Тогда полное множество называется планом последовательной выборки.

Множество Y можно разбить на непересекающиеся множества несколькими различными способами. Каждый способ разбиения дает свой план выборки.

Множество всевозможных планов последовательной выборки обозначим через J и назовем полным планом последовательной выборки.

Для принятия решения статистик должен выработать решающую функцию x=d(y), определяющую решения для каждой последовательности наблюдений.

D — множество всевозможных решающих функций, каждую функцию статистик выбирает из множества D как и в игре с единичным экспериментом.

Таким образом, стратегия статистика в данной игре состоит из следующих этапов:

1. Выбор плана последовательной выборки , показывающий, когда должен быть прекращен эксперимент;

2. Выбор решающей функции d(y) из множества D, указывающей какое решение x надо выбрать после прекращения эксперимента.