Число чистых стратегий статистика в игре с единичным экспериментом.

Предположим, что в игре с единичным экспериментом множество чистых стратегий Х={ }, а множество исходов эксперимента У= . Определим N — число всевозможных решающих функций, которые можно построить в этой ситуации.

Пусть =1 — один исход, , N=l — число решающих функций, которое можно принять в этой ситуации.

=2, , , .

Аналогично для =3 , .

Для произвольных : .

Если l и существенны, то число всевозможных решений функции становится неприемлемо велико.

В литературе существует несколько подходов, позволяющих упростить эту задачу. Наиболее популярным из них является метод нахождения байесовских стратегий, когда априорные распределения вероятностей q(z) состояний природы z заменяются на апостериорные . Число чистых стратегий статистика при этом не возрастает (в игре с единичным экспериментом). Это значит, что она равна числу чистых стратегий в игре без экспериментов.

Апостериорные распределения вероятности.

Предположим, имеется априорная информация о состоянии природы q(z). Далее проведем единичный эксперимент, в результате которого произошел один из возможных исходов эксперимента . Очевидно, правильно поставленные эксперименты должны уточнять состояние природы по сравнению с его априорной информацией. Это уточнение определяется как условная вероятность:

.

Полная вероятность исхода у: .

При дискретном состоянии :

.

Рассмотрим пример определения апостериорной информации:

«Задача о технологическом контроле».

z	q(z)
	0,6	0,25	0,6	0,15	0,15	0,36	0,09	0,88		0,86	0,22
	0,4	0,05	0,15	0,8	0,02	0,06	0,32	0,12		0,14	0,78
P(y)=					0,17	0,42	0,41

Эта таблица позволяет повысить значение апостериорных вероятностей.

Знание апостериорных вероятностей состояния природы позволяет воспользоваться принципом максимального правдоподобия для принятия соответствующей чистой стратегии. При этом знание апостериорных вероятностей состояния природы позволяет принимать то состояние, которое является наиболее согласованным с опытными данными. Рассмотрим этот принцип подробнее.

Принцип максимального правдоподобия

Данный метод очень часто используют для выбора решения в двуальтернативных задачах. Задачу можно сформулировать следующим образом: имеются два состояния природы и можно принять два решения в каждом из этих состояний. Для каждого исхода эксперимента можно определить отношение правдоподобия:

.

Если , определяемая таким образом, больше k, то принимается решение ;

Если <k, то принимается решение ;

Если =k, то решения равнозначны.

Проиллюстрируем данный принцип на следующем примере:

«Задача РЛС (РЛС — радиолокационная станция)».

Индикатор кругового обзора (сигнал на мониторе) может появиться в 2 случаях:

- в контролируемом секторе появилась цель и есть отметка;

- цели нет, но есть отметка за счет помех (ложная цель).

В данной задаче существуют 2 состояния природы:

— цель есть, — цели нет.

Принимают решение:

— цель есть, — цель отсутствует.

При реализации данных решений могут быть допущены ошибки:

— “ложная тревога” (цели нет — ошибка первого рода );

— пропуск цели (ошибка 2 рода ).