Принцип оптимальности по Парето

При анализе игры по Парето рассматривается множество Н, составленное из всех выигрышей H_i(x), где x (x₁ x₂…x_N) — множество всех ситуаций, которые могут возникнуть в игре. Можно также рассмотреть выигрыш всех игроков в ситуации х: H(x)= (H₁(x),…,H_N(x)). Очевидно, что среди множества ситуаций х найдется такая ситуация , при которой для всех H_i(x) H_i( ).

В общем случае таких ситуаций может быть несколько. Множество таких ситуаций будет образовывать множество ситуаций равновесия по Парето: x^p=( ). Кроме этих ситуаций не существует других ситуаций, которые были бы предпочтительнее одновременно для всех игроков.

В ситуации равновесия по Нэшу каждый игрок, действуя самостоятельно, не может увеличить свой выигрыш, а в ситуации оптимальности по Парето все игроки, действуя сообща, не могут одновременно увеличить свой выигрыш.

Для решения бескоалиционных игр приходится рассматривать их смешанные расширения.

Смешанное расширение бескоалиционной игры

Рассмотрим бескоалиционную игру двух лиц Г=<X₁,X₂,H₁,H₂>. В простейшем случае X₁={x₁⁽¹⁾,x₂⁽¹⁾}; X₂={x₁⁽²⁾,x₂⁽²⁾}. Тогда

для 1-ого игрока x₁⁽¹⁾ p (p — вероятность выбора стратегии x₁⁽¹⁾), x₂⁽¹⁾ 1-p

для 2-ого игрока x₁⁽²⁾ q (q — вероятность выбора стратегии x₁⁽²⁾), x₂⁽²⁾ 1-q

В общем случае, если число стратегий m и n, получим

x_i⁽¹⁾ p_i , ,

x_j⁽²⁾ q_j , ,

Важнейшим принципом смешанного решения бескоалиционной игры является то, что игроки выбирают свои стратегии независимо. Тогда для каждой ситуации x⁽ⁱ⁾= вероятность ее появления будет равна P(x⁽ⁱ⁾)=p_i*q_j

Аналогично это понятие можно обобщить на случай N игроков. В этом случае множество всех ситуаций Х будет определяться так:

I={1,…,N} X=X₁*X₂*…*X_N

Каждая ситуация х Х будет иметь вероятность P(x)=p(x⁽¹⁾)* p(x⁽²⁾)*… p(x^(N)), где х — ситуация выбора игроками стратегии х=( x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(N)), причем

Для биматричных игр доказывается, что существует ситуация (p*,q*), которая является ситуацией равновесия по Нэшу.

ДОК-ВО (Петросян с.130)

Рассмотрим свойства равновесия по Нэшу на примере анализа биматричной игры 2*2.

X₁={ x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾} A/B=

X₂={ x₁⁽²⁾, x₂⁽²⁾}

Вероятности выбора стратегий: x₁⁽¹⁾ p x₁⁽²⁾ q

x₂⁽¹⁾ 1-p x₂⁽²⁾ 1-q

Найдем выигрыш Н₁ в ситуации (p,q)

H₁(p,q)=

H₂(p,q)=

Найдем p и q, которые обеспечат ситуацию равновесия по Нэшу:

H₁(p,q)= = =

= =

H₂(p,q)= =

Ситуация для 1-ого игрока, когда р (0,1) будет предпочтительней, если будут выполняться 2 неравенства:

H₁(1,q) H₁(p,q)

H₁(0,q) H₁(p,q)

Обозначим

Тогда из первого неравенства получаем:

из второго неравенства:

если выполняются эти два неравенства, то ситуация предпочтительна для 1-ого игрока

Аналогично получаем условия предпочтительности ситуации (p,q) при 0<q<1 для 2-го игрока:

H₂(p,1) H₂(p,q)

H₂(p,0) H₂(p,q)

Первое неравенство:

Второе неравенство:

Таким образом, эти 4 неравенства определяют предпочтительность ситуации (p,q). Доказано, что эти неравенства совместны тогда и только тогда, когда они обращаются в равенства. В этом случае имеем следующее решение:

p*= ; q*=

или p*= ; q*=

Получается, что стратегии игроков зависят от стратегий противников.

Рассмотрим матричную игру с матрицей A= , тогда

a₁₁q + a₁₂(1-q) = a₂₁q + a₂₂(1-q), откуда q*=

ПРИМЕР. A= B=

p*= = = — вероятность выбора 1-ым игроком стратегии х₁

q*= = = — вероятность выбора 2-ым игроком своей стратегии у₁

Вывод: нет решения, удовлетворяющего обоих игроков. В этом случае необходимо договариваться.