Функции риска

Пусть задана решающая функция:

Очевидно тогда, каждому решению состояния природы z будут соответствовать потери статистика L(z,x).

L(z,x)=L(z,d(y))= (z,d).

Они показывают потери статистика при состоянии z.

Исход у при данном состоянии природы z случаен и характеризуется вероятностью .

.

Очевидно, что с этой же вероятностью будут получаться потери (z,d).

При определении качества d(y) нужно учитывать все у, появившиеся при данном z. Необходимо учитывать все возможные исходы эксперимента и вести речь о средних потерях.

Эти средние потери называют функцией риска.

Для оценки риска вводят следующую функцию:

.

Каждой решающей функции и каждому состоянию природы будут соответствовать свои значения функции потерь на множестве , где Z — множество состояний природы, а D — множество решающих функций.

В играх с экспериментом статистик имеет возможность использовать не только чистые, но и смешанные стратегии.

Для формирования смешанной стратегии статистик должен использовать механизм случайного выбора решающих функций из . Для этого нужно задать — распределение вероятности решающей функции d при смешанной стратегии статистика в игре с единичным экспериментом.

Если это распределение задано, то

.

Очевидно, что либо чистая стратегия, либо смешанная будут наилучшими, если они минимизируют средние потери.

Пример: «Задача о тест-контроле продукции».

Пусть — состояния природы.

ПДК;

>ПДК.

Исходы эксперимента:

— примесей нет, =0.

— примесей<ПДК;

— примесей>ПДК;

х — наше решение.

Тогда эту игру с природой можно описать следующей таблицей:

z
	1	0	3	0,25	0,6	0,15
	5	3	2	0,05	0,15	0,8

Так как d(y) принимает значения , , , то d(y)={ , , }

Найдем для этой функции потери:

Для состояния :

Для состояния

Такие же потери можно посчитать для любой другой (допустимой) решающей функции. Посчитанные таким образом значения можно представить графически на плоскости.

Принцип выбора стратегий в играх с единичным экспериментом.

Введение функции риска позволяет свести игру с единичным экспериментом к аналогичной игре без эксперимента. Поэтому все принципы выбора стратегий в игре с единичным экспериментом вполне соответствуют принципам выбора стратегий в игре без эксперимента.

Разница состоит в том, что в игре с единичным экспериментом статистик должен минимизировать средний риск, а в игре без эксперимента максимизировать выигрыш или минимизировать средние потери.

1. Принцип минимакса.

Состоит в выборе смешанной стратегии статистиком , при которой

Стратегия , при которой .

Если известна вероятность состояния природы q(z), то вместо минимакса можно воспользоваться Байесовским принципом.

2. Байесовский принцип.

можно заменить .

Согласно байесовскому принципу статистик вместо смешанных стратегий может рассматривать только свои чистые стратегии, т.е. всевозможные решающие функции. Поэтому ожидаемый риск равен следующему выражению:

.

Этот принцип нацеливает на применение такой решающей функции , для которой

— средние потери.