Стратегическая эквивалентность кооперативных игр
Игра
I,
V
стратегически эквивалентна игре
I,
V’
,
(V~V’),
если
k>0,
c
,
i
I:
V’(K)
= kV(K)
+
,
k
I.
Стратегическая эквивалентность обладает следующими свойствами:
Рефлексивность (V~V);
Симметрия (V~V’ V’~V);
Транзитивность (V~V’, V’~V’’ V~V’’).
Т. о. стратегическая
эквивалентность является отношением,
которое разбивает множество кооперативных
игр на непересекающиеся классы, т. к.
если V~V’,
то дележу x
= (x
,
x
,…,x
)
соответствует делёж x’
= (x’
,
x’
,…,x’
),
где x’
=
kx
+
c
,
i
=
.
Если V(K) = 0, k I, то игра I, V называется нулевой. Любая несущественная коалиционная игра эквивалентна нулевой игре.
В 0,1-редуцированной форме дележом может быть любой вектор x = (x , x ,…,x ), компоненты которого удовлетворяют условиям: а) x 0;
б) = 1.
Каждой характеристической функции V(k) можно сопоставить множество дележей, удовлетворяющих условиям:
x V(i);
x(I) = V(I);
x 0, = 1.
При решении корпоративной игры необходимо найти единственно справедливый делёж. Для решения используется несколько предположений:
Введём отношение
предпочтения дележей x
>x
(при
коалиции k)
x
x
,
i
I
x
(I)
= V(I)
Если для коалиции, то x (k) V(k), k I. Это условие практической реализуемости дележа.
Отношение дележей возможно не по всем коалициям.
k = 1 — коалиция из одного игрока
x y , x V(i) — это условие противоречит условию индивидуальной рациональности.
k = I — коалиция из всех игроков
x(I) > y(I) = V(I)
Таким образом, отношение доминирования можно изучать для классов стратегической эквивалентности. Причём, в качестве таких классов можно рассматривать либо несущественные игры, либо игры в 0,1-редуцированной форме. Отношение предпочтения и другие свойства позволяют определить некоторое множество дележей. Теория кооперативных игр занимается изучением множества дележей, удовлетворяющим рассмотренным свойствам.
Доминирование дележей невозможно по следующим коалициям:
из одного игрока, т. к. если y < x V(i), противоречит условию индивидуальной рациональности.
из всех игроков, т. к. >
=
V(I)
противоречит условию коллективной
рациональности.
Пусть есть две
стратегически эквивалентных игры V~V’
и некоторые два дележа
и
,
которые будут доминировать, соответственно,
дележам:
>
,
>
Можно показать, что если выполняется первое неравенство, то будет выполняться и второе по этой коалиции отношения доминирования могут исследоваться на примере наиболее простых игр каждого класса.
Для несущественных игр отношение доминирования можно рассматривать на примере нулевой игры, а для существенных на примере 0,1-редуцированной игры.
Рассмотрим доминирование дележей существенной игры трёх лиц:
x
= (x
,
x
,
x
)
– вектор дележей, x
V(i),
x
+ x
+ x
=
1
Этот барицентрический треугольник называется двумерным симплексом.
Например, в симплексе
зафиксировано x
=
x
(прямая,
параллельная АВ, будет иметь положение
в зависимости от V
).
Подмножество С множества допустимых значений, где выполняются условия:
нет доминируемых дележей по любой коалиции из I;
для любой коалиции k I выполняются условие x(k) V(k), k I, называют С-ядром кооперативной игры с характеристической функцией V(k).
Компоненты С-ядра должны удовлетворять некоторой конечной системе линейных неравенств.
Рассмотрим методику составления неравенств на примере игры трёх лиц.
Эти неравенства: V(1,2) x +x
V(1,3) x +x
V(2,3) x +x
К этим неравенствам добавляются ещё два неравенства индивидуальной групповой рациональности x V(1), x V(2), x V(3), x + x + x = 1
При приведении этой игры к 0,1-редуцированной форме, получаем:
V(1) = V(2) = V(3) = 0
x 0, I = 1,2,3
x + x c
x + x c
x + x c , c 0
Условие нахождения С-ядра рассмотрим на следующем примере:
Пусть есть три предприятия П , П , П .
П – Д , Д по 900 шт.
П – Д , Д по 700 шт.
П – М , М по 1000 шт.
Поступил заказ поставить комплект товаров (Д , М ) по 1000 шт. Каким образом скомплектовать этот заказ?
Другими словами, как распределить величину Д относительно П и П ?
Данный конфликт можно моделировать кооперативной игрой трёх лиц, где участники могут заключать между собой соглашения и компенсировать друг другу их значимость.
Будем считать характеристическую функцию в единицах товаров.
V(П ) = V(П ) = V(П ) = V(П , П )
V(П , П ) = 1800
V(П , П ) = 1400
V(П , П , П ) = 2000
Перейдём к 0,1-редуцированной форме, тогда V(П ) = V(П ) = V(П )=0 V(П , П ) = 0
V(П , П ) = 0,9
V(П , П ) = 0,7
V(П , П , П ) = 1
Для дележей получим следующие неравенства:
.
Это условие определяет С-ядро этой игры.
П
оследнее
неравенство определяет двумерный
симплекс. Рассмотрим прямую x
+
x
= 0,9. Это эквивалентно множеству точек,
когда x
=
0,1; x
+
x
= 0,7; 
x
=
0,3
— множество дележей, образует С-ядро этой игры. Любой делёж из этого ядра является наилучшим.
Например, x = 600 ед.
x = 200 ед.
x = 1200 ед.
Превышение x над x и x за счёт монополии; П и П придется доплачивать П , т. к. они не могут самостоятельно выполнить заказ.
Д
=
,
М = 1000 ед.
П доплатит 150 ед., а П – 50 ед.
Более общим подходом к решению кооперативных игр является решение по Нейману-Моргенштерну. Н-М решения, как и с-ядро, определяют множество эквивалентных между собой решений.
Кроме С-ядра и Н-М решения для определения предпочтительного дележа используют вектор Шепли.