I.Ответьте на следующие вопросы.

1. Дайте определение n-местного предиката. Приведите примеры.

2. Что называется множеством истинности предиката?

3. Какие предикаты называются равносильными?

4. Дайте определение тождественно-ложного, тождественно-истинного, выполнимого предиката.

5. Дайте определения кванторов (существования , всеобщности ).

6. Какие операции можно выполнять в логике предикатов?

7. Что называется формулами алгебры предикатов?

8. Определите понятия связной и свободной переменных. Какие формулы называются замкнутыми?

9. Какие формулы логики предикатов называются равносильными? Запишите основные равносильности алгебры предикатов.

10. Дайте определения приведенных и предваренных нормальных формул алгебры предикатов.

II.Выполните следующие упражнения:

1. Установите, какие из следующих предложений являются предикатами, а какие - высказываниями:

1. ;

2. , ;

3. , ;

4. ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , .

2. Определите, какие из следующих предикатов являются тождественно-истинными на множестве действительных чисел R:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

3. Определить множество истинности следующих предикатов, заданных на множестве :

1. «x – простое число»;

2. « »

3. « »;

4. « »;

5. « »;

6. « ».

3. Для следующих предикатов, определенных на множестве А, составить таблицу значений и определить множество истинности (ложности):

1. « », ;

2. «x делит y», ;

3. « », ;

4. « », ;

5. « », ;

6. « », ;

7. « », ;

8. « », ;

9. « », ;

10. « - четное число», .

3. Выписать все подформулы следующих формул:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

3. Какие вхождения переменных являются свободными, а какие связными в следующих формулах:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

3. Пусть предикаты N(x), С(x), P(x), П(x), Ч(x), Д(x, y) имеют соответственно смысл: x – натуральное число, x – целое число, x – простое число, x - положительное число, x - четное число, x делит y. Сформулировать смысл следующих формул логики предикатов и указать, являются ли они тождественно истинными:

1. x ( N(x)  C(x));

2. x ( C(x)  П(x)  N(x) );

3. x (P(x)  ( y (Ч(x)  Д(x, y)) ) );

4. x ( Ч(x)  ( y (P(x)   Д(x, y)) ) ).

5. x ( P(x)  Ч(x) ).

6. x ( С(x)  Ч(x)   Ч(x) )

7. x ( N(x)  Ч(x)  П(x) ).

3. Прочитайте следующие формулы (запишите на естественном языке) и установите их истинность (ложность) на соответствующих множествах:

1. , где «x делит y», ;

2. , где , «x делит y»,

«x – четное»;

3. , где «x – натуральное число»,

«x – простое число»;

4. , где «x - помидор»,

«x - овощ», «x - растение».

3. Запишите следующие предложения в виде формул алгебры предикатов, выделите в них субъекты и предикаты:

1. каждое рациональное число есть действительное число;

2. существует четное число, которое является простым;

3. для каждого числа х существует такое число у, что х < у.

4. любое рациональное число можно записать в виде конечной или периодической десятичной дроби;

3. Перед следующими предикатами поставьте соответствующие кванторы так, чтобы получились высказывания, истинные на множестве действительных чисел:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

3. Для следующих формул установите их истинность (ложность) на множестве А, если:

1. « », ;

2. « », ;

1. « », ;

2. « », ;

3. « », ;

3. Пользуясь кванторами, запишите четыре вида высказываний относительно одних и тех же свойств P и Q, различающихся характером общности:

1. общеутвердительное – «все P суть Q»;

2. частноутвердительное – «некоторые P суть Q»;

3. общеотрицательное – «ни одно P не суть Q»;

4. частноотрицательное – «некоторые P не суть Q».

3. Пусть , где N – множество натуральных чисел, , .

1. запишите формулу с одной свободной переменной x, истинную в m тогда и только тогда, когда:

1. ;

2. ;

1. x – простое число

2. ;

3. ;

4. .

2. запишите формулу с двумя свободными переменными x и y, истинную в m тогда и только тогда, когда:

1. ;

1. ;

2. ;

3. x делит y.

3. запишите формулу с тремя свободными переменными x, y, z, истинную в m тогда и только тогда, когда:

1. ;

2. ;

1. .

4. запишите замкнутую формулу

1. коммутативность сложения;

2. ассоциативность сложения;

3. дистрибутивность умножения относительно сложения;

4. коммутативность умножения;

5. ассоциативность умножения;

6. бесконечность множества простых чисел;

7. то, что всякое четное число, большее 2, есть сумма простых чисел;

8. то, что уравнение имеет в точности два различных корня;

9. то, что система уравнений , не имеет решения;

10. то, что для всякого числа существует строго большее число.

3. Выполнимы ли следующие формулы:

1. ;

2. ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

3. Являются ли следующие формулы тождественно истинными (ложными), выполнимыми:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

3. Доказать тождественную истинность следующих формул:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

3. Для следующих формул найти равносильную им приведенную форму:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

3. Привести к пренексной нормальной форме следующие формулы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

5. ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Индивидуальные задания

Задание 1

Найти множество истинности предиката, заданного на множестве А.

1. « », ,

2. « »; ,

3. «x делит y», A=Z;

4. «y делит x», где A=N,

5. «x – четное»; A=Z;

6. «x – натуральное число»,

7. «x – целое число»;

8. «x - помидор», A={x/x - овощ}

9. «x - овощ», A={ x/x - растение}

10. « », A={1,2,…,12}

11. « », A={1,2,…,13}

12. « »,; A={1,2,…,15}

13. « », A={1,2,…,100}

14. « »,; A={1,2,…,20}

15. « »,; A={1,2,…,19}

16. « »,; A={1,2,…,12}

17. « »,. A={1,2,…,120}

18. « »,A={1,2,…,32}

19. « »;A={1,2,…,18}

20. « »,; A={1,2,…,17}

21. « »,; A={1,2,…,55}

22. « »,; A={1,2,…,16}

23. « »,; A={1,2,…,65}

24. «x делит y»,; A={1,2,…,75}

25. « »,; A={1,2,…,10}

26. «x делится на y»,; A={1,2,…,15}

27. « »,; A={1,2,…,10}

28. « »,; A={1,2,…,105}

29. « »,. A={1,2,…,15}

Задание 2

Изобразите на координатной прямой множества истинности

предикатов, заданных на R. Является ли данный предикат: а) тождественно

истинным; б) тождественно ложным?

1. х>2;

2. |х|=1;

3. |х|<1;

4. |х|>1;

5. |х—2|>1;

6. |х+3|<1;

7. х²+2х+1 =0;

8. х²+6х+9>0;

9. х²+6х—16 0

10. х²/х = х.

11. х = у;

12. х = 2у;

13. x² + x/2=l;

14. у = |х|;

15. у>х²;

16. у = 1/х;

17. (х2—у2)/(х—у) = х+у.

18. х²+2х+3 =0;

19. х²+6х+3>0;

20. х²+6х—9 0

21. х²/х = х.

22. х = 2у;

23. х = 3у;

24. x² + x/2=2;

25. у = |х|-1;

26. у>2х²;

27. у = 3/х;

28. (х2—у2)/(х—у) = х+у.

Задание 3

Прочитайте следующие формулы (запишите на естественном языке) и установите их истинность (ложность) на соответствующих множествах:

1. , где , « », « »;

2. , где «x делит y», ;

3. , где , «x делит y», «x – четное»;

4. , «x – натуральное число», «x – целое число»;

5. , где «x – целое число», «x делит y»;

6. , где ;

7. , где ;

8. , где ;

9. , где ;

10. , где

11. , «x – натуральное число», «x – целое число»;

12. , где «x – целое число», «x делит y»;

13. , где ;

14. , где ;

Пусть x, y, z – произвольные прямые плоскости α;

«x пересекает у»

«x параллельна у»

«x перпендикулярна у»

«x принадлежит плоскости α»

Прочитайте следующие формулы (запишите на естественном языке) и установите их истинность (ложность):

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. .

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

Задание 4

Запишите следующие предложения в виде формул алгебры предикатов, выделите в них субъекты и предикаты:

1. для любых действительных x, y, z, если и , то ;

2. для любых действительных x, y, если и , то ;

3. прямые х и у в пространстве параллельны или пересекаются, или скрещиваются;

4. диаметр больше хорды;

5. для всяких чисел x, y, z, если , то ;

6. для всякой прямой х плоскости α существует параллельная прямая у, лежащая в этой же плоскости;

7. всякое натуральное число, большее 1, простое или составное;

8. любое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби;

9. любые две непараллельные плоскости пересекаются;

10. любая система линейных однородных уравнений совместна.

Используя предикаты:

- «я вижу предмет x в момент времени t»,

- «я беру предмет x в момент времени t»,

- «момент времени предшествует моменту времени » ,

Запишите в виде формул алгебры предикатов следующие высказывания:

11. я всегда что-то вижу;

12. иногда я ничего не вижу;

13. существуют предметы, которые я никогда не вижу;

14. я вижу каждую вещь в некоторый момент времени;

15. если я вижу предмет, то я тут же его беру;

16. если я вижу предмет, то я беру его спустя некоторое время;

17. если я беру предмет, не видя его до этого, то через некоторое время я вижу его,

18. но не беру;

19. не существует предметов, которые я никогда не беру;

20. я беру всякий предмет, который я еще не взял до этого;

21. некоторые вещи, которые я видел ранее, я всегда вижу вновь, спустя определенное время;

22. существуют предметы, которые я всегда вижу.

Запишите с помощью формул алгебры предикатов следующие высказывания:

23. существует не более чем один x такое, что F(x);

24. существует, по крайней мере, два элемента x и y, такие что F(x) и F(y);

25. существует один и только один x, такой, что F(x);

26. существует не более двух элементов x и y, таких, что F(x) и F(y);

27. существует два и только два элемента x и y, таких, что F(x) и F(y).

28. существует, по крайней мере, два элемента x и y, такие что F(x) и F(y);

Задание 5

Используя предикаты:

x – точка;

x - прямая;

x - плоскость;

x лежит на у,

Запишите в виде формул алгебры предикатов следующие предложения:

1. через каждые при точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость;

2. через каждый две точки можно провести прямую, если эти точки различные, то прямая единственная;

3. определение параллельных прямых;

4. определение параллельных плоскостей;

5. через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной;

6. какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей;

7. две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке;

8. если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну;

9. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну;

10. определение скрещивающихся прямых.

Запишите в подходящей сигнатуре определения:

11. предела числовой последовательности;

12. непрерывности функции на [a,b];

13. равномерной непрерывности функции на [a,b];

14. непрерывности (разрывности) функции в точке;

15. совместности (несовместности) системы уравнений ;

16. отношения эквивалентности;

17. равносильности уравнений и ;

18. пересечения (объединения) множеств;

19. пустого (единичного) множества;

20. наименьшего (минимального) элемента;

21. наибольшего (максимального) элемента.

22. полугруппы;

23. коммутативной группы;

24. кольца;

25. группы;

26. коммутативного кольца;

27. поля;

28. частично упорядоченного множества;

29. линейно упорядоченного множества.

Задание 6

Перед следующими предикатами поставьте соответствующие кванторы так, чтобы получились высказывания, истинные на множестве действительных чисел:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

Для следующих формул установите их истинность (ложность) на множестве А, если:

13. « », ;

14. « », ;

15. « », ;

16. « », ;

17. «x делит y», ;

18. « », ;

19. «x делится на y», ;

20. « », ;

21. « », ;

22. « », .

Для следующих формул установите их истинность (ложность) на множестве А, если:

23. « », ;

24. « », ;

25. « », ;

26. « », ;

27. «x делит y», ;

28. « », ;

29. «x делится на y», ;

30. « », ;

31. « », ;

32. « », .

Занятие №4

Тема: Исчисления высказываний.