Министерство образования и науки рф ни Иркутский государственный технический университет математичесКая логиКа
Методические указания к практическим занятиям
для студентов специальностей АСУ, ИСТ
Иркутск 2010
«Методические указания к практическим занятиям «Математическая логика» предназначено для студентов специальностей АСУ, ИСТ
факультета Кибернетики. Составитель Л.Л. Носырева.
Иркутск, 2010, 56 - с.
Содержит задания для работы на практических занятиях, а также индивидуальные контрольные задания.
Библ. 11 назв.
Рецензент: Белых Татьяна Ивановна, доцент кафедры информатики и кибернетики БГУЭП
Занятие №1
Тема: Алгебра высказываний.
Основные определения и понятия.
I.Ответьте на следующие вопросы:
Что называется высказыванием? Приведите примеры.
Какие операции можно выполнять над высказываниями? Как определяются эти операции?
Что называется формулой алгебры высказываний? Приведите примеры.
Как определить истинностное значение сложного высказывания?
Что называется подформулой формулы алгебры высказываний?
Какова последовательность выполнения операций в формуле алгебры высказываний?
Дайте определение тавтологии, противоречия, выполнимой формулы.
Какие формулы называются равносильными? Запишите основные равносильности алгебры высказываний.
II.Выполните следующие упражнения:
Какие из следующих предложений являются высказываниями и определите их истинностное значение:
Иркутск - областной город;
Москва – столица СССР;
;
;для всякого числа x:
;
;
;существует действительное число х такое, что
.
Пусть A и B есть соответственно высказывания: «Углы α и β – вертикальные» и «Углы α и β равны». Прочитать следующие высказывания:
;
;
;
;
;
.
Следующие составные высказывания расчленить на простые и записать символически, введя сокращенные обозначения для простых высказываний:
если число a делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6;
произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю;
если треугольник не равнобедренный и не равносторонний, то любая его медиана не является высотой и биссектрисой;
число a является корнем системы m уравнения с одним неизвестным тогда и только тогда, когда оно является корнем каждого из системы уравнений;
если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива, и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива;
необходимым условием дифференцируемости функции в точке является ее непрерывность в этой точке.
Из двух данных высказываний A и B построить составное высказывание с помощью операций отрицания и конъюнкции, которое было бы:
истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания A и B ложны;
ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания A и B истинны;
ложно тогда и только тогда, когда A-истинно, а B – ложно.
Известно, что высказывание
истинно. Можно ли утверждать, что и
высказывание
истинно?
Построить таблицы истинности для формул:
;
;
;
;
;
;;
.
Определить, является ли каждая из следующих формул тавтологией, противоречием или выполнимой:
;
;
;
;
;
;
.
Доказать, что следующие формулы - тавтологии:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
При каких значениях A, B, C, D следующие формулы ложны:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Известно, что,
,
,
– тавтология, докажите, что тогда:
-
тавтология;
-
тавтология;
-
тавтология;
-
тавтология;
-
противоречие;
-
противоречие;
-
тавтология;
-
тавтология.
Докажите равносильность следующих формул двумя способами – посредством равносильных преобразований и с помощью таблицы истинности:
и
;
и
;
и
;и
;
и
;
и
;и ;
и
;и
;
и
.
Докажите справедливость следующих равносильностей:
тождества:
;идемпотентности:
и
;коммутативности:
и
;ассоциативности:
и
;дистрибутивности:
и
;
двойного отрицания:
;де Моргана:
и
;
,
и
,
;противоречия:
;исключенного третьего:
;замены эквиваленции:
;поглощение:
и
;склеивания:
и
;контропозиции:
;силлогизма:
;прямого вывода (заключения):
.
Индивидуальные задания
Задание 1.
Проверить, является ли формула тавтологией, противоречием или выполнимой:
-
№
варианта
Формула:
Задание 2
Что можно сказать об истинности высказывания A, если B и C истинные высказывания и при этом:
-
№
варианта
;
;
;
;
.
Известно, что высказывания A и B истинные, а C и D – ложные. Найдите значения истинности следующих высказываний:
-
№
варианта
;
;
; 
;
;
.
Какие из следующих выражений являются формулами алгебры высказываний?
-
№
варианта
;;
;
;
;
.
Сколькими способами и как можно расставить скобки в выражении, чтобы получилась формула:
-
№
варианта
;
;
;
;
;
.
Выписать все подформулы формулы:
-
№
варианта
;
;
;
;
.
Задание 3.
Формализовать следующие высказывания:
чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы они имели общую сторону.
чтобы углы были смежными, необходимо и достаточно, чтобы две стороны их были противоположными лучами;
чтобы построить окружность, достаточно иметь на плоскости три различные точки, не лежащие на одной прямой;
чтобы построить окружность определенного радиуса, необходимо иметь на плоскости три точки;
чтобы треугольники были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их углы были равны;
чтобы
,
достаточно, чтобы
;чтобы
,
необходимо и достаточно, чтобы
;чтобы множество A, разбить на классы, достаточно на множестве A задать отношение эквивалентности;
чтобы система n линейных уравнений была совместной, необходимо, чтобы ранги основной и расширенной матриц были равны;
Если в четырехугольнике две противоположные стороны конгруэнты и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.
Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Если треугольник равнобедренный, то два угла его равны.
Если каждое слагаемое суммы чисел кратно некоторому числу a, то и сумма кратна этому числу.
Если многочлен
делится
на
,
то
.Если многочлен нечетной степени с целыми коэффициентами, то он имеет хотя бы один действительный корень.
Если
,
,
.Если алгебраическая система
группа, то операция
ассоциативна.Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
Диагонали квадрата равны.
если два треугольника конгруэнты, то их площади равны;
вертикальные углы равны;
в точке дифференцирования функция непрерывна;
число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9;
параллельные прямые центрально симметричны;
если два комплексных числа равны, то равны их действительные и мнимые части соответственно;
если сумма квадратов действительных чисел a и b равна нулю, то a=0 и b= 0;
если число делится на 2 и 5, то оно делится на 10;
диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
для того, чтобы две прямые были параллельными, необходимо, чтобы они были перпендикулярны третьей прямой;
чтобы квадратный трехчлен разлагался на множители над R, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был не меньше нуля.
Занятие №2
Тема: Рассуждения. Логические задачи.