2.4. Похідні в механіці

Фізичний зміст похідної – миттєва швидкість

(2.4.1)

нерівномірного руху тіла, де – шлях, пройдений об'єктом за час . Наприклад, якщо - вільне падіння тіла, то . Визначати швидкість доводиться не тільки у випадку механічного руху, а й при зміні довільної фізичної величини протягом часу (наприклад, швидкість хімічної реакції, швидкість нагрівання тіла, швидкість випарування рідини). Крім того, швидкість можна розглядати у більш широкому плані, коли зміна деякої величини відноситься не до одиниці часу, а до одиниці якоїсь іншої величини.

Таким чином, миттєва швидкість визначається як похідна за часом від функції пройденого шляху, а прискорення ‑ як похідна від миттєвої швидкості:

. (2.4.2)

Приклад  2.4.1. Тіло рухається прямолінійно за законом , де ‑ час (у секундах), ‑ шлях (у метрах). Знайти в момент часу : а) миттєву швидкість, б) прискорення.

Розв’язання. а) Миттєва швидкість , в момент часу :  (м/с).

б) Прискорення , в момент часу :  (м/с²).

Література: [1, с. 139 ‑ 140], [2, с. 152 ‑ 156], [3, с. 305 – 310], [9].

2.5. Диференціальне числення функцій декількох змінних

Градієнт – вектор, що вказує напрям найбільш швидкої зміни скалярного поля. Якщо плоске поле задане функцією , то градієнт, обчислюваний в його точці , має вигляд

. (2.5.1)

У випадку просторового поля , градієнт в точці запишеться

. (2.5.2)

Похідна за напрямом характеризує зміну скалярного поля в напрямі, заданому певним вектором (або у випадку просторового поля ), і є скалярним добутком градієнта і орта :

. (2.5.3)

Для просторового скалярного поля похідна за напрямом обчислюється відповідно за формулою

, (2.5.4)

де .

Градієнт вказує напрям найскорішого зростання функції в заданій точці , а у протилежному до градієнта напрямі функція спадає найшвидше. При цьому:

, . (2.5.5)

Для визначення точок локальних екстремумів заданої функції слід спочатку знайти критичні точки (в яких частинні похідні або не існують, або дорівнюють нулеві (стаціонарні точки)). Екстремуми мають місце лише в тих критичних точках, де виконуються достатня умова існування екстремума:

. (2.5.6)

Якщо при цьому , то екстремум є максимумом; . Якщо при цьому , то екстремум є мінімумом; . У випадку екстремума досліджувана функція в точці не має. Питання про наявність чи відсутність екстремума в точці у випадку вирішується шляхом подальших досліджень.

Приклад  2.5.1. Для функції знайти: а)  похідну функції за напрямом вектора в точці , б)  напрям найшвидшого зростання функції в точці , в)  найбільше та найменше значення похідних за напрямом в точці , г) локальні екстремуми.

Розв’язання. Знаходимо частинні похідні (при цьому, коли шукаємо, наприклад, похідну по , усі інші змінні вважаються постійними): , . Таким чином, згідно (2.5.1) градієнт .

а)  Знаходимо значення градієнта в точці :

.

Довжина вектора напряму згідно (1.2.2): , одиничний вектор напряму : .

Похідна функції за напрямом згідно формули (2.5.3):

.

б)  напрям найшвидшого зростання функції в точці співпадає з напрямом градієнта в цій точці .

Довжина градієнта та одиничний вектор напряму найшвидшого зростання функції в точці : , .

Відповідно у напрямі (протилежному до напряму градієнта) функція найшвидше спадає.

в)  Згідно (2.5.5) серед усіх похідних за напрямом найбільшою є похідна за напрямом градієнта:

.

Найменшою ‑ похідна за напрямом, протилежним до напряму градієнта: .

г)  Знайдемо критичні точки. , . Бачимо, що частинні похідні існують для будь-яких і із області визначення функції. Отже, критичні точки є такі, що , . Таким чином, отримали систему , або , , звідки , або . Отже, у функції є дві критичні точки: та .

Перевіримо достатні умови існування екстремума (2.5.6) в кожній з цих точок. Для цого знайдемо частинні похідні другого порядку:

, , .

Значить, . Таким чином, у точці функція екстремума не має.

В точці є екстремум, бо . До того ж екстремум є мінімумом, бо . Значить, .

Література: [1, с. 333 ‑ 360], [2, с. 472 ‑ 494], [3, с. 423 – 431], [10].