3.2. Невласні інтеграли

Інтеграли з нескінченними межами інтегрування й інтеграли від розривних функцій називаються невласними. Невласний інтеграл з нескінченною верхньою межею функції (неперервної при ):

. (3.2.1)

Якщо ця границя існує і є скінченною, то невласний інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку - розбіжним. Аналогічно визначається невласний інтеграл із нескінченною нижньою межею,

, (3.2.2)

а також із двома нескінченними межами:

. (3.2.3)

Якщо неперервна при і , то

. (3.2.4)

Приклад  3.2.1. Дослідити на збіжність невласні інтеграли: 1)   , 2)   , 3)   , 4)   .

Розв’язання. 1)   .

Границя існує і скінченна, тому невласний інтеграл збігається.

2)   . Границя існує і скінченна, тому невласний інтеграл збігається.

3)   . Границі не існують, тому невласний інтеграл розбігається.

4)   . Границя існує, але нескінченна, тому невласний інтеграл розбігається.

Зауважимо, що приклад  3.2.1 відповідає завданню  3.2 контрольної роботи.

Література: [1, с. 253 ‑ 255], [2, с. 375 ‑ 382], [3, с. 559 – 565], [11].

3.3. Застосування визначених інтегралів

Інтеграли (робота змінної сили на відрізку ), (маса лінійного стержня з неоднорідною густиною на відрізку ) і (довжина шляху, який пройшла матеріальна точка, що рухалась прямолінійно із змінною швидкістю впродовж часу ) виражають різні аспекти фізичного змісту визначеного інтеграла.

Площа фігури, обмеженої знизу і зверху двома неперервними кривими і ( ), а зліва і справа – відповідно прямими , , обчислюється за формулою:

. (3.3.1)

Для однорідної (з постійною густиною маси) криволінійної трапеції ‑ фігури, обмеженої неперервною кривою , віссю та двома прямими і , координати центра маси:

, , (3.3.2)

де – площа криволінійної трапеції.

При обертанні цієї криволінійної трапеції навколо вісі отримаємо тіло, об'єм якого

. (3.3.3)

Приклад  3.3.1. За допомогою інтегрального числення для обмеженої лініями плоскої фігури : а)  обчислити площу, б)  знайти координати центра ваги, якщо густина маси , в)  обчислити об’єм тіла, що утворюється при обертанні фігури навколо вісі .

Розв’язання. К риволінійна трапеція обмежена зверху – параболою , знизу ‑ віссю та проектується на відрізок осі .

Рис. 3.3.1 ‑ Криволінійна трапеція

а)  Площа згідно (3.3.1):

(кв. од.),

б)  Координати центра мас за формулами (3.3.2): ,

в)  Об’єм тіла обертання згідно (3.3.3): (куб. од.)

Зауважимо, що приклад  3.3.1 відповідає завданню  3.3 контрольної роботи.

Література: [1, с. 256 ‑ 272], [2, с. 339 ‑ 365], [3, с. 577 – 581], [11].