Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує

(6.1.5)

(Границя відношення наступного члена до попереднього), то

• якщо , то ряд збігається;

• якщо , то ряд розбігається;

• якщо , то про збіжність (розбіжність) ряду нічого сказати не можна (слід скористатися іншими ознаками збіжності рядів).

Цю ознаку рекомендується використовувати, якщо загальний член досліджуваного ряду містить показникові або факторіальні елементи відносно номера .

Радикальна ознака Коші. Якщо для ряду, загальний член якого , існує

, (6.1.6)

то

• якщо , то ряд збігається;

• якщо , то ряд розбігається;

• якщо , то про збіжність (розбіжність) ряду нічого сказати не можна (слід скористатися іншими ознаками збіжності рядів).

Дану ознаку рекомендується застосовувати, якщо загальний член ряду є показниково-степеневою функцією відносно .

Інтегральна ознака Коші. Якщо функція ‑ неперервна, є незростаючою і при (де ), то ряд збігається або розбігається одночасно з невласним інтегралом .

Умовам цієї ознаки до функції задовольняє узагальнений гармонійний ряд . Через те, що невласний інтеграл = ,

то ряд збігається при , і розбігається при .

Збіжність знакопереміжних числових рядів досліджують за ознакою Лейбніца. Якщо

• розпочинаючи з деякого номера, члени ряду, взяті за абсолютним значенням, зменшуються при зростанні їх номера ;

• ,

то ряд збігається.

Приклад  6.1.1. Дослідити на збіжність числові ряди: 1)   , 2)   , 3)   , 4)   , 5)   , 6)   .

Розв’язання. 1)  Обчислимо границю загального члена ряду: . Ряд розбігається, бо необхідна умова збіжності (6.1.3) не виконується.

2)  Границя загального члена ряду не існує, тобто необхідна умова збіжності (6.1.3) не виконується. Значить, ряд розбігається.

3)  Ряд є знакододатним, бо загальний член ряду (факторіал , див. також розділ 8). Наступний член , відношення наступного члена до попереднього . Тоді границя (6.1.5): . Отже, ряд розбігається за ознакою Даламбера.

4)  Загальний член ряду . Значить, , і границя (6.1.6): . Отже ряд збігається за радикальною ознакою Коші.

5)  Порівняємо ряд із гармонійним рядом . ; , тоді границя (6.1.4): . Отже, за граничною ознакою порівняння досліджуваний ряд розбігається, оскільки гармонійний ряд розбігається за інтегральною ознакою Коші. (Можна було застосувати інтегральну ознаку Коші зразу до вихідного ряду).

6)  Ряд є знакопереміжним. Оскільки , , то і . Отже, досліджуваний ряд збігається за ознакою Лейбніца.

Література: [1, с. 362 ‑ 376], [2, с. 659 ‑ 673], [4, с. 214 – 246], [15].

6.2. Степеневі ряди

Степеневий ряд

(6.2.1)

( , ‑ задані числа) збігається при , де ‑ центр інтервалу (в цій точці ряд набуває вигляду , отже завжди збігається), а ‑ радіус збіжності . Для знаходження інтервалу збіжності степеневого ряду можна застосовувати ознаку Даламбера, або радикальну ознаку Коші до знакододатного ряду . Наприклад, застосовуючи ознаку Даламбера до цього ряду, отримаємо умову для визначення інтервалу збіжності степеневого ряду (6.2.1):

. (6.2.2)

Розв’язуючи цю нерівність відносно , знаходимо інтервал збіжності . Множина збіжності або співпадає з цим інтервалом, або є одним із проміжків , , . Якщо степеневий ряд збіжний лише при , то його радіус збіжності . Якщо ряд збіжний при будь-якому , то .

Степеневі ряди є узагальненням багаточленів і широко застосовуються в науці. Це пов’язано з можливістю представлення багатьох функцій, зокрема всіх елементарних функцій у вигляді сум степеневих рядів, що називаються рядами Тейлора (Маклорена, якщо ). Наприклад,

, (6.2.3)

, . (6.2.4)

За допомогою розкладу функцій в ряд Тейлора можна з будь-якою точністю обчислити значення функцій, інтегралів, границь і т.д. Саме на цьому грунтуються всі обчислення, що виконуються компьютерами з елементарними та спеціальними функціями.

Приклад  6.2.1. Знайти множину збіжності степеневих рядів: 1)   , 2)   , 3)   .

Розв’язання. 1)  Тут , ‑ центр інтервалу збіжності. Оскільки , , то (при ) . Значить, за ознакою Даламбера ряд збігається, якщо . Тобто, якщо , або , то степеневий ряд збігається. До того ж за ознакою Даламбера якщо , то ряд розбігається. Залишилось дослідити збіжність ряду на кінцях інтервалу (там, де ).

При маємо знакододатний ряд , який збігається за інтегральною ознакою Коші. При маємо знакопереміжний ряд , який збігається за ознакою Лейбніца. Таким чином, множина збіжності ряду являє собою відрізок . Тобто ряд збігається, якщо , і розбігається, якщо . (Радіус збіжності ).

2)  Тут , . Оскільки , , то (при ) . Отже, за ознакою Даламбера ряд розбігається при всіх , а збігається лише в точці . (Радіус збіжності ).

3)  Тут , . Оскільки , , то (при ) . Отже за ознакою Даламбера ряд збігається при всіх . (Радіус збіжності ).

Література: [1, с. 377 ‑ 380], [2, с. 626 ‑ 676], [4, с. 247 – 262], [15].