2.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Диференціювання функцій є найбільш ефективним методом їх дослідження. Вихідним моментом в оволодінні технікою диференціювання є засвоєння таблиці похідних основних елементарних функцій:

1)	5)	9)
2)	6)	10)
3)	7)	11)
4) ,	8)	12)

Основні правила диференціювання:

, (2.2.1)

, (2.2.2)

, (2.2.3)

, (2.2.4)

, (2.2.5)

, або , (2.2.6)

тобто похідна складної функції (або , ) дорівнює добутку похідної функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу по кінцевому аргументу х.

Диференціалом функції називається добуток похідної на диференціал змінної:

. (2.2.7)

Приклад 2.2.1. Знайти похідну функцій: , .

Розв’язання. Похідна складної функції і, якщо , то .

Функція також є складною, тому згідно (2.2.6) маємо:

, або записуємо відразу:

.

Похідна неявної функції. Якщо функція задана рівнянням , то для знаходження похідної потрібно продиференціювати обидві частини цього рівняння, розглядаючи як функцію від , а потім отримане рівняння розв'язати відносно .

Інколи доцільно перед диференціюванням функції спочатку логарифмувати, а потім знайти похідну отриманої неявної функції. Такий спосіб називається логарифмічним диференціюванням. Завдяки йому значно спрощується знаходження похідних показниково-степеневих функцій .

Диференціювання функцій, заданих параметрично, тобто функцій виду , здійснюється за формулою

. (2.2.8)

Приклад 2.2.2. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Похідну параметрично заданої функції знайдемо за формулою (2.2.8): .

Приклад 2.2.3. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Щоб знайти похідну неявної функції, продиференціюємо спочатку обидві частини цього рівняння, розглядаючи як функцію від : . Тоді . Звідси знайдемо : , або (якщо помножити чисельник і знаменник на ) .

Приклад 2.2.4. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Спочатку логарифмуємо: , тобто .

Диференціюємо по ліву і праву частини одержаної рівності (враховуємо, що справа – добуток функцій): , звідки , або , тому що .

Зауважимо, що приклади  2.2.1, 2.2.3, 2.2.4 відповідають завданню  2.2 контрольної роботи.

Література: [1, с. 147 ‑ 169], [2, с. 160 ‑ 182], [3, с. 305 – 339], [8].