1.4. Криві другого порядку

Канонічне рівняння кола з центром у точці і радіусом :

. (1.4.1)

Канонічне рівняння еліпса:

. (1.4.2)

Канонічні рівняння гіперболи:

. (1.4.3)

Канонічні рівняння параболи:

, . (1.4.4)

Приклад  1.4.1. Привести до канонічного виду рівняння кола , знайти центр та радіус.

Розв’язання. Поділимо рівняння на 25: . Згрупуємо члени, що містять лише і лише , і доповнимо ці групи до повних квадратів: , . Отже маємо канонічне рівняння кола: .

Центром буде точка , а радіус .

Зауважимо, що приклад  1.4.1 відповідає завданню  1.4 контрольної роботи.

Література: [1, с. 46 ‑ 57], [2, с. 54 ‑ 94], [3, с. 141 – 154], [5], [6].

1.5. Площина та пряма в просторі

Загальне рівняння площини:

. (1.5.1)

Вектор є перпендикулярним до площини і називається нормальним.

Рівняння площини з нормальним вектором , яка проходить через точку :

. (1.5.2)

Рівняння площини у відрізках на осях:

. (1.5.3)

Рівняння площини, що проходить через три задані точки , і , має вигляд:

. (1.5.4)

Відстань точки до площини знаходиться за формулою

. (1.5.5)

Канонічні рівняння прямої у просторі, що проходить через точку паралельно до (напрямного) вектора :

. (1.5.6)

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки:

. (1.5.7)

Загальні рівняння прямої (як лінії перетину двох площин):

(1.5.8)

Умова паралельності прямої і площини: , і згідно (1.2.10):

. (1.5.9)

Умова перпендикулярності: , тобто згідно (1.2.9)

. (1.5.10)

Приклад  1.5.1. За координатами точок із приклада  1.2.1 знайти: а) рівняння площини , б) рівняння площини, що проходить через паралельно , в) рівняння висоти , г) довжину висоти .

Розв’язання. Координати точок , , , .

а)  Тоді рівняння площини згідно (1.5.4): , тобто , , . Значить, ‑ нормальний вектор площини , рівняння якої .

б)  Рівняння площини з нормальним вектором , яка проходить через точку згідно (1.5.2): , тобто , .

в)   , значить ‑ напрямний вектор прямої . Таким чином, згідно (1.5.6) рівняння : (зауваження: 0 у знаменнику означає в данному випадку, що чисельник цього дробу дорівнює 0). Отже загальні рівняння (виду (1.5.8)) висоти : тобто

г)  Довжина висоти ‑ це відстань точки до площини . Значить, згідно (1.5.5) (од.)

Зауважимо, що приклад  1.5.1 (а, б, г) відповідає завданню  1.5 контрольної роботи.

Література: [1, с. 316 ‑ 332], [2, с. 441 ‑ 471], [3, с. 110 – 140, 158 ‑171], [5], [6].