Модуль 7 комплексні числа. Елементи теорії функцій комплексної змінної

7.1. Комплексні числа

Комплексним числом називається вираз виду , де - дійсні числа (тобто ), а - уявна одиниця (число, квадрат якого дорівнює мінус одиниці: ). Числа і при цьому називаються відповідно дійсною і уявною частиною комплексного числа і позначаються , . Вираз ‑ це алгебраічна форма запису комплексного числа. Множина всіх комплексних чисел позначається . Дійсні числа можна розглядати як частинний випадок комплексних, тобто , а саме при матимемо - дійсне число. Число називається суто уявним. Число називається спряженим до числа .

Приклад 7.1.1. Записати дійсну, уявну частини чисел , , , та спряжені до них числа.

Розв’язання. Матимемо за означенням: , , ; , , ; , , ; , , .

Сума двох комплексних чисел та ‑ це число .

Приклад 7.1.2. Знайти , ; , , якщо , , .

Розв’язання. Матимемо: , ; , .

Комплексні числа перемножуються, як двучлени, при цьому враховується, що . До речі, і т.д.

Приклад 7.1.3. Знайти добуток чисел та .

Розв’язання. .

Частка двох комплексних чисел і обчислюється за формулою:

. (7.1.1)

Приклад 7.1.4. Знайти , якщо , .

Розв’язання. За формулою (7.1.1) матимемо:

.

Комплексне число зображується на площині точкою або вектором, початок якого розташований в точці (0; 0), а кінець - у точці . Модулем комплексного числа називається невід’ємне число

. (7.1.2)

Кут , який утворює вектор з додатним напрямом осі , називається аргументом комплексного числа і позначається . При (для аргумент не визначається) аргумент числа визначається з точністю до доданка, кратною . Одне і тільки одне значення аргумента задовольняє умову ; воно називається головним значенням аргумента і позначається . Отже, і

. (7.1.3)

Щоб знайти аргумент, зручно користуватися схемою 7.1.1:

II координатна чверть :	I координатна чверть :
III координатна чверть :	IV координатна чверть :

Рис. 7.1.1 – Схема визначення

Крім того, якщо і , то , а якщо , то (при ) і (при ).

(Нагадаємо, що , , ,

, , , , , , , ).

Числа і можна розглядати як полярні координати точки , а тому , і комплексне число у тригонометричній формі матиме вигляд:

. (7.1.4)

Враховуючи формулу Ейлера

, (7.1.5)

комплексне число можна представити у формі:

. (7.1.6)

, яка називається показниковою.

Приклад 7.1.5. Знайти модулі та аргументи комплексних чисел: , , .

Розв’язання. За формулою (7.1.2) та схемою  7.1.1: , ; , ; , .

Приклад 7.1.6. Записати у тригонометричній формі число .

Розв’язання. За формулою (7.1.2) та схемою  7.1.1: , . Отже, згідно (7.1.4): .

Якщо , , то

, (7.1.7)

. (7.1.8)

Для натурального і комплексного має місце формула Муавра:

. (7.1.9)

При існує рівно різних значень кореня :

, (7.1.10)

де - арифметичний корінь. Ці значень зображуються вершинами правильного - кутника, вписаного в коло з центром у початку координат і радіусом .

Рис. 7.1.2 – Корені комплексного числа

Множина комплексних чисел вводиться (як розширення множини дійсних чисел ) таким чином, щоб на ній завжди була здійсненною операція добування кореня.

Наприклад, , , і т.д., ‑ два значення кореня квадратного ( ‑ арифметичне значення кореня).

Приклад 7.1.7. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Квадратне рівняння має два комплексно спряжених кореня , які не є дійсними числами, якщо дискримінант . Наприклад, рівняння ( ) має корені , а рівняння ‑ корені .

Приклад 7.1.8. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Ця задача рівносильна відшуканню значень кореня кубічного . Визначимо модуль и аргумент числа : , . Тоді за формулою маємо три різних значення кореня кубічного (при ):

.

Виписуємо їх, беручі по черзі : , , .

Для геометричного представлення знайдених значень кореня достатньо зобразити одне значення, наприклад (при ) ‑ це точка кола радіусу , що лежить на промені . Після цього будуємо правильний трикутник, вписаний у коло:

Р ис. 7.1.1 – Значення .

Приклад 7.1.9. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа , якщо .

Розв’язання. Якщо , то ,

і за формулою (7.1.1):

‑ алгебраічна форма. Таким чином, , .

Зауважимо, що приклад  7.1.9 є аналогічним до завдання  7.1 контрольної роботи.

Література: [1, с. 274 ‑ 278], [3, с. 292 – 299], [16].