5.2. Криволінійні інтеграли

Для обчислення криволінійних інтегралів по координатах (інтегралів другого роду), тобто інтегралів виду

, (5.2.1)

використовується одна із формул:

• якщо крива задана рівнянням виду і при переміщенні із точки цієї кривої в точку змінюється від до , то

; (5.2.2)

• якщо крива задана параметрично, тобто системою рівнянь , і при переміщенні із точки в точку параметр змінюється від до , то

. (5.2.3)

В процесі обчислення криволінійних інтегралів по довжині дуги (інтегралів першого роду) користуються однією із формул:

• якщо крива задана рівнянням виду , то ,

. (5.2.4)

• якщо крива задана параметрично, тобто системою , де , то , і

. (5.2.5)

Значення криволінійного інтеграла другого роду при зміні напряму руху вздовж кривої змінюється на протилежне, а інтеграл першого роду не залежить від напряму.

Криволінійні інтеграли у просторі визначаються аналогічно.

Приклад  5.2.1. Обчислити криволінійні інтеграли: 1)   , де – дуга параболи , що пробігається від точки до точки ; 2)   , де – відрізок прямої, що з’єднує точки О(0; 0) і А(1; 2); 3)   , де – дуга кривої, заданої параметрично: , , .

Розв’язання. 1)  В цей інтеграл другого роду підставимо , , і врахуємо, що змінюється від –1 до 1 при русі з точки до точки . Тоді згідно (5.2.2) маємо:

.

2)  Рівняння прямої, що з’єднує точки О(0; 0) і А(1; 2), має вид , змінюється від 0 до 1 при русі від точки О до точки А, . Значить, інтеграл першого роду дорівнює згідно (5.2.4): .

3) 

Значить, інтеграл першого роду дорівнює згідно (5.2.5):

.

Зауважимо, що приклад  5.2.1 відповідає завданню  5.2 контрольної роботи.

Література: [1, с. 458 ‑ 467], [2, с. 617 ‑ 625], [3, с. 499 – 502], [14].

Модуль 6 числові і степеневі ряди

6.1. Числові ряди

Числовий ряд

(6.1.1)

збігається (має суму ), якщо

, (6.1.2)

( – послідовність часткових сум).

Для всіх збіжних і деяких розбіжних рядів виконується необхідна умова збіжності (достатня ознака розбіжності):

. (6.1.3)

Якщо (необхідна умова не виконується), то такий ряд обов’язково розбігається. Якщо ж , то ряд може як збігатися, так і розбігатися.

В науці і практиці часто потрібне знання не суми ряду, а лише факту збіжності ряду (або його розбіжності). Для цього застосовуються достатні ознаки збіжності.

Ознака порівняння: якщо (починаючи з деякого номера ) для двох рядів виконується , то

• якщо збігається ряд з загальним членом , то збігається ряд з загальним членом ;

• якщо розбігається ряд з загальним членом , то розбігається ряд з загальним членом .

Гранична ознака порівняння: якщо для знакододатних рядів і виконується умова

, (6.1.4)

то обидва ряди збігаються або розбігаються одночасно.

При застосуванні ознак порівняння використовують “еталонні” ряди, умови збіжності або розбіжності яких відомі, наприклад, так званий узагальнений гармонійний ряд (де р – число).