Модуль 4 диференціальні рівняння

4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів

Рівняння, в яких є незалежні змінні, невідома функція однієї змінної і її похідні (або диференціали), називається звичайним диференціальним. Порядок диференціального рівняння – це порядок найвищої похідної. Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд: , або , другого порядку: , або . Розв’язком диференціального рівняння на інтервалі називається диференційовна на цьому інтервалі функція , яка перетворює це рівняння на тотожність при всіх . Відповідно інтеграл – це розв’язок у неявному вигляді. Загальний розв’язок рівняння n-го порядку містить п довільних незалежних постійних.

Диференціальне рівняння

, (4.1.1)

або

(4.1.2)

називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Після відокремлення змінних (ураховуючи, що ), тобто отримання рівняння (або ) залишається здійснити інтегрування кожної частини за відповідною змінною. Одержимо загальний інтеграл , (або ).

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку

(4.1.3)

можна привести до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки

, або , . (4.1.4)

Лінійне рівняння має вигляд

, (4.1.5)

причому якщо , то лінійне рівняння є однорідним, у протилежному випадку – неоднорідним. Розв’язання лінійного неоднорідного рівняння зводиться до розв’язання двох рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою заміни:

, (4.1.6)

де – допоміжні функції. Тоді , і вихідне рівняння набуває виду: . Одну із допоміжних функцій, наприклад , можна обрати довільно, припустимо такою, щоб вираз в квадратних дужках дорівнював нулеві. Тоді матимемо два рівняння: і . Підстановка частинного розв’язку першого рівняння дозволяє знайти загального розв’язок другого рівняння з відокремлюваними змінними. Після чого можна записати загальний розв’язок вихідного рівняння: .

Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вид:

, (4.1.7)

де і – числа, ‑ функція. Структура загального розв’язку цього рівняння залежить від характеру коренів характеристичного рівняння .

• Якщо корені різні і дійсні (характеристичне рівняння має дискримінант ), то

, (4.1.8)

де – довільні сталі.

• Якщо корені характеристичного рівняння рівні і дійсні ( ), то

. (4.1.9)

• Якщо , то корені характеристичного рівняння є комплексно-спряженими (дивись розділ 7 та приклад 7.1.7) числами , і тоді

. (4.1.10)

Приклад 4.1.1. Знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку: 1)   , 2)   .

Розв’язання. 1)  З рівняння виразимо похідну: . Таким чином, це диференціальне рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними (4.1.2) (у даному випадку , ). Враховуючи, що , відокремимо змінні: . Тепер можна інтегрувати: , (бо ). Отримаємо: ‑ загальний інтеграл диференціального рівняння. Записуючи довільну постійну у вигляді , маємо: , , тобто ‑ загальний розв'язок.

2)  Рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними (4.1.1) (у даному випадку , , , ). Відокремимо змінні: . Тепер можна інтегрувати: , , (бо , ). Отримаємо: , , отже ‑ загальний інтеграл.

Приклад 4.1.2. Знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку: 1)   , 2)   .

Розв’язання. 1)  Бачимо, що є функцією відношення , тобто рівняння є однорідним (має вид (4.1.3)). Вводимо нову функцію , тоді і . Вихідне рівняння перетворюється в рівняння з відокремлюваними змінними: , або , , звідки . Змінні відокремлено, отже можна інтегрувати: , . Значить, . Отже, ‑ загальний розв'язок.

2)  Виразимо похідну , тоді рівняння матиме вигляд: , а після ділення чисельника і знаменника правої частини на матимемо:

. (4.1.11)

Бачимо, що є функцією відношення , тобто дане рівняння – однорідне. Вводимо нову функцію , тоді і . Рівняння (4.1.11) перетворюється на рівняння з відокремлюваними змінними: , або , , звідки , . Після інтегрування кожної частини за своєю змінною одержимо: , або , звідки . Якщо замінити в останній рівності відношенням , то остаточно знаходимо загальний інтеграл вихідного рівняння: .

Приклад 4.1.3. Знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку: 1)   , 2)   .

Розв’язання. 1)  Диференціальне рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням (4.1.5) (у даному випадку , ). Покладаємо , тоді . Підставляємо та у вихідне рівняння: . Після групування маємо: . Обираємо функцію так, щоб вираз у дужках дорівнював нулеві. Дістанемо два рівняння з відокремлюваними змінними: і , або і . Проінтегруємо: , . Значить, ‑ частинний розв’язок (при ) першого рівняння. Підставляємо знайдену функцію у друге рівняння: , звідки . Інтегруючи, знайдемо функцію : , , ‑ загальний розв’язок другого рівняння. Отже, , і ‑ загальний розв’язок лінійного рівняння.

2)  Диференціальне рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням (4.1.5) (у даному випадку , ). Покладаємо , тоді і дане рівняння набуває виду: . Обираємо функцію так, щоб вираз у дужках дорівнював нулеві. Дістанемо два рівняння з відокремлюваними змінними: і . Знаходимо частинний розв’язок першого рівняння: , , . Підстановка знайденої функції у друге рівняння приводить до рівняння: , звідки , або . Інтегрування останнього дає . Тоді шуканий загальний розв’язок вихідного рівняння: , тобто .

Приклад 4.1.4. Знайти загальний розв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами: 1)   , 2)   , 3)   .

Розв’язання. 1)  Запишемо характеристичне рівняння: . Тоді , і , отже , ‑ дійсні різні корені характеристичного рівняння. Значить, згідно (4.1.8) ‑ загальний розв’язок диференціального рівняння ( – довільні сталі).

2)  Запишемо характеристичне рівняння: , або . Тоді ( ), і таким чином за (4.1.9) ‑ загальний розв’язок диференціального рівняння ( – довільні сталі).

3)  Характеристичне рівняння: . Тоді , і ‑ комплексно-спряжені корені характеристичного рівняння ( ). Значить, за (4.1.10) ‑ загальний розв’язок диференціального рівняння ( – довільні сталі).

Зауважимо, що приклади  4.1.1 – 4.1.4 відповідають завданню  4.1 контрольної роботи.

Література: [1, с. 407 ‑ 457], [2, с. 501 ‑ 580], [4, с. 5 – 121], [12].