Модуль 3 нЕвизначений і визначений інтеграли

3.1. Основні методи інтегрування

Інтегрування є зворотною задачею диференціювання. Функція називається первісною для функції на інтервалі , якщо для будь-якого виконується рівність . Множина всіх первісних функції називається невизначеним інтегралом: , де ‑ довільна стала.

Таблиця основних інтегралів:

1)	10)
2)	11)
3)	12)
4)
5)	13)
6)
7)	14)
8)
9)	15)

Основні властивості невизначеного та визначеного інтегралів:

• , (3.1.1)

• , (3.1.2)

• (3.1.3)

якщо , ‑ сталі;

• , (3.1.4)

• інваріантність формул інтегрування:

якщо , то , (3.1.5)

де – довільна диференційована функція;

• , ; (3.1.6)

• (де ). (3.1.7)

Для обчислення визначених інтегралів спочатку знаходять невизначений інтеграл (або первісну), а потім користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

, (3.1.8)

де ‑ первісна для неперервної функції .

Метод безпосереднього інтегрування базується на прямому використанні основних властивостей невизначеного інтеграла та проведенні тотожних перетворень підінтегральної функції з метою одержання табличних інтегралів або їх суми.

Метод заміни змінної (підстановки) застосовується, коли в підінтегральному виразі є функція й її диференціал :

, (3.1.9)

де – нова змінна, , неперервні функції.

Користуючись формулою заміни у визначеному інтегралі, на відміну від невизначеного, не треба повертатись до попередньої змінної.

, (3.1.10)

де – нова змінна, і – нові межі інтегрування, неперервна на відрізку , неперервна на .

В формулах інтегрування частинами

, (3.1.11)

(3.1.12)

(де мають неперервну похідну) ліва частина є компактним записом шуканого інтеграла, а права – шляху його відшукання.

Щоб обчислити інтеграли , , , в якості доцільно позначати многочлен , а - вирази - , , , .

Щоб знайти інтеграли , , в якості береться , а - функції , , .

За необхідності інтегрування частинами проводиться кілька разів. Наприклад, для інтеграла дворазове інтегрування частинами (зі збереженням вибору ) призводить до повернення до шуканого інтеграла (і дозволяє таким чином його виразити).

Інтегрування добутків тригонометричних функцій , , (де – числа) здійснюється шляхом попереднього їх перетворення в алгебраїчні суми за допомогою формул:

; ; .

Приклад  3.1.1. Знайти методом безпосереднього інтегрування невизначені та визначені інтеграли: 1)   , 2)   , 3)  

Розв’язання. 1)  Для обчислення інтеграла віднімемо і додамо в чисельнику число 9 та застосуємо властивості (3.1.1), (3.1.2) та табличні інтеграли 1) та 13) :

.

2)  Підносячи вираз в дужках до другого степеня, а потім інтегруючи кожний доданок, згідно (3.1.2) маємо:

Зауважимо, що , , тому інтеграли від цих функцій обчислюються за формулою 2) таблиці інтегралів.

3)  Застосуємо властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 3):

Почленним діленням інтеграл звівся до табличних 6) і 9) з урахуванням властивості (3.1.3) .

Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличнго інтеграла 4), а також табличний інтеграл 1) та формулу Ньютона-Лейбніца (3.1.8).

Приклад  3.1.2. Знайти методом заміни змінної (підстановки) невизначені та визначені інтеграли: 1)   3)   , 4)   5)   .

Розв’язання. 1)  Нехай В підінтегральному виразі маємо функцію і її диференціал (нагадаємо, що ). Роблячи заміну , знаходимо . Будемо мати . Повертаючись до попередньої змінної, остаточно знайдемо

Розв’язок можна оформити таким чином:

Можна також використовувати і такий запис:

. Тут заміняючи змінну у визначеному інтегралі, знайшли нові межі інтегрування: та . Для цього обчислили значення нової змінної при та (це попередні межі інтегрування). Можна також використовувати і такий запис:

.

3)  

4)  

5)  

.

Приклад  3.1.3. Знайти інтегруванням частинами невизначені та визначені інтеграли: 1)   , 2)   , 3)   , 4)   , 5)   .

Розв’язання. 1)  

В цьому випадку в якості беремо , бо маємо добуток виду . Щоб інтеграл прийняв вид , позначимо . Щоб скористатися формулою інтегрування частинами (3.1.11) треба знайти і , тому рівняння продиференцюємо, а в рівнянні знайдемо первісну (скористаємось також властивістю (3.1.3) інтеграла).

2)  

. В даному випадку підінтегральна функція має вид , а тому в якості слід обрати .

3)  

. Тут застосовано формулу інтегрування частинами (3.1.11) для визначеного інтеграла.

4)  

. Формулу (3.1.11) тут довелося використати двічі.

5)  

Приклад  3.1.4. Знайти інтеграли від раціональної або ірраціональної функції шляхом виділення повного квадрату у знаменнику: 1)   , 2)   , 3)   , 4)  

Розв’язання. 1)  

Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 12) .

2)  

. Тут застосовано формулу (3.1.3) до табличного інтеграла 13) .

3)   Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 15) .

4)   Тут застосовано формулу (3.1.3) до табличного інтеграла 14) .

Приклад  3.1.5. Знайти способом перетворення добутків тригонометричних функцій у суми інтеграли: 1)   , 2)   .

Розв’язання. За допомогою тригонометричних формул маємо:

1)   .

2)   .

Зауважимо, що приклади  3.1.1 – 3.1.5 відповідають завданню  3.1 контрольної роботи.

Література: [1, с. 211 ‑ 252], [2, с. 308 ‑ 338], [3, с. 444 – 479, 509 ‑ 513], [11].