3. Выпуклость функции

Функция называется выпуклой вверх на интервале, если на этом интервале ее график лежит ВЫШЕ любой ее ХОРДЫ (или, что то же самое, лежит НИЖЕ любой ее КАСАТЕЛЬНОЙ).

Функция называется выпуклой вниз на интервале, если на этом интервале ее график лежит НИЖЕ любой ее ХОРДЫ (или, что то же самое, лежит ВЫШЕ любой ее КАСАТЕЛЬНОЙ)

Т.е. выпуклая вниз функция обгоняет свою касательную, а выпуклая вверх функция от нее отстает

4. Второй дифференциал и вторая производная

Если в окрестности данной точки приращение функции можно представить в виде суммы линейного члена Ах квадратичного члена Вх² и ошибки , порядок малости которой выше второго − o(x²), то функция называется дважды дифференцируемой в точке x₀, линейная часть приращения Ах называется первым дифференциалом и обозначается df, квадратичная часть приращения Вх² называется вторым дифференциалом и обозначается d²f.

f = f(x) − f(x₀) = df + d²f = Ах + Bх² + o(x²);

df = Ах

d²f = Bх²

При этом:

- коэффициент А называется первой производной в точке x₀

- половина коэффициента В называется второй производной в точке x₀, она равна производной от первой производной

5. Точка перегиба

На том интервале, где < 0 функция выпукла вверх, там, где > 0 функция выпукла вниз. В точке, где вторая производная равна нулю и при этом меняет знак, происходит смена выпуклости вверх на выпуклость вниз или наоборот.

Такая точка, в которой происходит смена типов выпуклости, называется точкой перегиба, если в точке перегиба у функции есть вторая производная, то она непременно равна нулю.

Функции нескольких переменных

1.Частные производные

Пусть на плоскости заданы координаты (x, y). Тогда: r = (x, y)′ - текущий радиус-вектор, - его длина, вектор dr = - его приращение, а dr - длина приращения.

П усть теперь функция F(r) =F(x,y) определена в некоторой окрестности точки r₀(x₀,y₀). Тогда вдоль прямой, параллельной оси x она порождает в этой окрестности функцию одной переменной x, а именно F(x,y₀)=f₀(x), при этом остальные переменные (в данном случае это переменная у) играют роль параметров. Так, рассмотрим в качестве примера функцию двух переменных F(x,y)=x²y и в качестве базовой точку (x₀,y₀)=(2,2). Проведем через эту точку прямую, параллельную оси х. Вдоль такой прямой функция F=x²y порождает функцию f₀(x)=2x², ведь вдоль этой прямой везде у=2. Аналогично, если в качестве базовой выбрать точку (2,3), то получим функцию f₁(x)=3x². Т.е в обоих случаях получилась функция типа ах², причем роль параметра а играет значение координаты у в выбранной точке r₀(x₀,y₀).

Если порожденная указанным способом функция одной переменной x F(x,y₀)=f₀(x) имеет в точке (x₀,y₀) обычную производную по x, эта производная называется частной производной первого порядка по x в точке (x₀,y₀) исходной функции двух переменных F(x,y). Эта частная производная обозначается или F/x(x₀,y₀) или F_x(x₀,y₀).

Вполне аналогично можно определить частную производную по у как производную функции одной переменной у, которая получается из при фиксации значения первой переменной х: F(x₀,y)=f₃(у)

Или наглядно: частная производная по одной из переменных равна приросту функции при условиях, что эта переменная выросла на единицу, а все остальные переменные не менялись