Лекция 7. Функционал ошибки
Второй
из способов построения итерационного
метода решения системы линейных
алгебраических уравнений
(
)
состоит из построения последовательности
приближений
такой, что
,
т.е. строгого убывания на каждом шаге
функционала ошибки
.
Теорема. |
Если
и
отображение
|
Док–во. |
Т.к.
Предположим,
что
Т.к.
Т.к.
,
то
Тогда, выполнив предельный переход в соотношениях
получим
противоречие:
|
(
)
(оператор шага для ошибки:
)
непрерывно при
,
то
,
т.е.
.
,
то
.
.
,
то
.
.
.
Обычно
используют нормы, порождаемые симметричной
положительно определенной матрицей:
.
Доказать:
если
|
– норма в . |
,
то
– скалярное
произведение,Метод полной релаксации
для решения
системы
с матрицей
– очередное приближение
определяется по известному приближению
за
шагов:
где
параметр
выбирается из условия минимума
.
Теорема. |
и . |
Док–во. |
Т.к. , то имеем
Очевидно,
что при
если
хотя бы одна из компонент невязки
(в
противном случае
Итак, функционал ошибки строго убывает. Найдем оператор шага для ошибки: имеем (проверить!):
или
– метод Зейделя (он сходится)
по теореме о функционале ошибки. |
.
будет максимальное уменьшение ошибки
(полная релаксация):
.
,
,
т.е.
).
– непрерывный
(всюду) оператор шага
Метод неполной релаксации
для решения системы с матрицей – очередное приближение определяется по известному приближению за шагов:
где
параметр
,
т.е. ошибка уменьшается меньше, чем в
методе полной релаксации (
):
Расчетные
формулы имеют вид (проверить!):
или
Теорема. |
Если
,
то метод неполной релаксации сходится
|
Док–во |
практически совпадает с доказательством сходимости метода полной релаксации. |
.Оценка сходимости методов релаксации
Итак,
ошибка
монотонно убывает в норме
.
Оценим
.
Т. к.
,
где
,
то
,
если
.
.
Т.к.
,
то
где
.
Пусть
.
Т.к.
,
то
.
Теорема. |
где
постоянные
( |
Док–во |
очевидно. |
и
таковы, что
,
)
Доказать:
.
Доказать:
.
Пример
,
,
т.к.
,
то
и
,
тогда (проверить):
верхняя релаксация |
|
полная релаксация |
|
,
,
,
т.е. метод
верхней релаксации в
раз дешевле.
Лекция 8.
Градиент, метод наискорейшего спуска
Как
выбирать вектор
при построении итерационного метода
из условия минимизации ошибки:
?
Если
,
то
Следовательно,
.
Теорема. |
Метод наискорейшего спуска сходится
, если
|
|
Док–во. |
Очевидно,
что оператор
:
непрерывен
всюду, кроме , быть может, 0.
|
|
.
минимум
правой части достигается при
:
,
если
.
.