- •III семестр. Ммф нгу
- •Конспект лекций1
- •2003 – 2004 Учебный год
- •Содержание
- •Лекция 1. Традиционные задачи линейной алгебры
- •Векторные и матричные нормы
- •Число обусловленности
- •Лекция 2. Прямые методы решения линейных уравнений Метод исключения Гаусса – схема единственного деления
- •Теорема об lu разложении
- •Разложение Холесского
- •Метод квадратного корня
- •Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения
- •–Ый шаг метода вращений
- •Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы
- •Совместность системы с вырожденной матрицей
- •Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы
- •Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей –разложение трехдиагональной матрицы :
- •Формулы метода прогонки для системы :
- •Асимптотическая скорость сходимости
- •Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя, Некрасова)
- •Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
- •Лекция 7. Функционал ошибки
- •Метод полной релаксации
- •Метод неполной релаксации
- •Метод минимальных невязок
- •Метод простой итерации
- •Оценки сходимости мнс и ммн
- •Лекция 9. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами Задача оптимизации параметров
- •Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
- •Циклический метод Ричардсона: формулы и сходимость
- •Об устойчивости метода Ричардсона
- •Трехчленные формулы реализации метода Ричардсона с чебышевскими параметрами
- •Лекция 10. Многошаговые методы. Вариационная оптимизация
- •Метод сопряженных градиентов
- •Переобуславливатель
- •Положительно определенные матрицы
- •Лекция 11. Проблема собственных значений
- •Корректность задачи на собственные значения
- •Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
- •Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
- •Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
- •Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
- •Идея метода бисекций вычисления
- •Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
- •Якобиевы матрицы
- •О вычислении чпз
- •О вычислении собственного вектора
- •Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
- •Выбор вращения
- •Сходимость собственных значений
- •Сходимость собственных векторов
- •Литература
Выбор вращения
Для простоты будем полагать, что матрица вещественная. Выразим разность через элементы матрицы .
Лемма 3. |
Пусть , , где – элементарная матрица вращения ( – угол вращения), тогда
|
Док–во. |
Требуемые равенства выводятся из соотношения . |
Лемма 4. |
Пусть , , где – элементарная матрица вращения такая, что
то . |
Док–во. |
Требуемое неравенство следует из равенства и оценки . |
Следующая лемма обеспечивает существование для леммы 4 матрицы .
Лемма 5. |
Решением уравнения при является угол такой, что
|
Док–во |
осуществляется непосредственной проверкой. |
Из последних двух лемм следует справедливость теоремы сходимости метода.
Теорема 1. |
Последовательность матриц метода вращений: , , где – матрица вращения, определяемая по формулам лемм 4 и 5, для решения полной проблемы на собственные значения , сходится к диагональному виду, т.е. , причем . |
Из теоремы 1
, .
Пусть
Сходимость собственных значений
Лемма 6. |
при . |
Док–во. |
Т.к. , ,
то . |
Теорема 2 |
(оценка приближения собственных значений). |
|
а) , б) . |
Док–во. |
Т.к. , то , . , где – ортогональная м–ца. а) , т.к. . . б) доказывается аналогично. |
Сходимость собственных векторов
Будем предполагать, что и (этого всегда можно добиться, переставив столбцы матриц и ).
Лемма 7. |
Если , , , , то , . |
Док–во |
оставляется в качестве упражнения. |
Т.к. собственные векторы матрицы определяются с точностью до их направления, будем считать, что ( – приближения к собственным векторам матрицы ), т.е. диагональные элементы матрицы неотрицательны.
Теорема 3 |
(оценка приближения собственных векторов). |
|
В условиях леммы 7 . |
Док–во. |
Т.к. и из доказательства теоремы 2 ( ) и леммы 7 следует, что , то . Осталось оценить (здесь мы воспользовались условием ). Т.к. , то
. Подводя итог, имеем . |
Литература
Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Л.: Физматгиз, 1963.
Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры.- Новосибирск: ВО "Наука", Сибирская издательская фирма, 1993.
Воеводин В.В. Вычислительнные основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1977.
Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980.
Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
1 Конспект подготовлен при финансовой поддержке проекта № 274 ФЦП "Интеграция".
3