![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •III семестр. Ммф нгу
- •Конспект лекций1
- •2003 – 2004 Учебный год
- •Содержание
- •Лекция 1. Традиционные задачи линейной алгебры
- •Векторные и матричные нормы
- •Число обусловленности
- •Лекция 2. Прямые методы решения линейных уравнений Метод исключения Гаусса – схема единственного деления
- •Теорема об lu разложении
- •Разложение Холесского
- •Метод квадратного корня
- •Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения
- •–Ый шаг метода вращений
- •Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы
- •Совместность системы с вырожденной матрицей
- •Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы
- •Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей –разложение трехдиагональной матрицы :
- •Формулы метода прогонки для системы :
- •Асимптотическая скорость сходимости
- •Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя, Некрасова)
- •Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
- •Лекция 7. Функционал ошибки
- •Метод полной релаксации
- •Метод неполной релаксации
- •Метод минимальных невязок
- •Метод простой итерации
- •Оценки сходимости мнс и ммн
- •Лекция 9. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами Задача оптимизации параметров
- •Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
- •Циклический метод Ричардсона: формулы и сходимость
- •Об устойчивости метода Ричардсона
- •Трехчленные формулы реализации метода Ричардсона с чебышевскими параметрами
- •Лекция 10. Многошаговые методы. Вариационная оптимизация
- •Метод сопряженных градиентов
- •Переобуславливатель
- •Положительно определенные матрицы
- •Лекция 11. Проблема собственных значений
- •Корректность задачи на собственные значения
- •Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
- •Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
- •Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
- •Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
- •Идея метода бисекций вычисления
- •Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
- •Якобиевы матрицы
- •О вычислении чпз
- •О вычислении собственного вектора
- •Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
- •Выбор вращения
- •Сходимость собственных значений
- •Сходимость собственных векторов
- •Литература
Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения
Доказать,
что
– унитарная матрица, т.е.
.
Доказать,
что
.
Доказать,
что при умножении на матрицу
матрицы
слева (
)
изменяются только
и
строки матрицы
.
–Ый шаг метода вращений
Предположим,
что после
шага система
с помощью умножения слева на ортогональную
матрицу приведена к виду
,
где
.
Тогда
–ый
шаг состоит из умножения системы
слева на элементарные матрицы вращений
:
,
где
,
если
,
,
если
.
В результате
получим
,
где
.
Выполнив
шаг, получим систему с верхней треугольной
матрицей:
(заметим, что, если
,
то и
).
Если
определить унитарную матрицу
,
то справедлива
Теорема.
.
Доказать,
что
.
Лекция 4.
Метод отражений решения системы уравнений
Матрица отражения
|
Доказать,
что
|
–ый шаг метода отражений
Предположим, что после шага система с помощью умножения слева на ортогональную матрицу приведена к виду , где
.
Тогда
–ый
шаг состоит из умножения системы
слева на ортогональную матрицу вращения
:
,
где |
|
если
или
|
|
|
если
(здесь
|
|
|
если
(здесь
|
Выполнив шаг, получим систему с верхней треугольной матрицей: (заметим, что, если , то и ).
Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы
1– ый шаг. |
Определим
номер столбца
Для
матрицы
Доказать:
|
–ый шаг. |
После шага имеем
Определяем
номер столбца
и для
Доказать:
|
Ответ: |
Если
где
|
Совместность системы с вырожденной матрицей
Система
называется совместной, если она имеет
решение. Следовательно, система совместна
.
–
общее решение
системы, где
–
любое ее решение.
Теорема. |
Если система совместна ( ), то
|
Система
несовместна, если
.
В этом
случае ее обобщенным решением (относительно
векторной нормы
)
называют вектор
.
Доказать: общее решение совместной системы совпадает с множеством ее обобщенных решений.
Доказать:
множество обобщенных решений
совпадает с общим решением системы
.
Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы
Выполним эквивалентное преобразование совместной системы :
.
Из–за ошибок округления эта система будет иметь вид:
,
где матрица
и вектор
должны иметь малые по модулю элементы.
Заменяем их на нулевые матрицу и вектор
(диагональные элементы матрицы
по модулю мажорируют все левее и ниже
лежащие элементы, как только очередной
диагональный элемент стал “намного”
меньше предыдущего, то и остальные
элементы почти нулевые):
,
очевидно, что общее решение этой системы определяется формулой
,
а решение
исходной системы
.