![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •III семестр. Ммф нгу
- •Конспект лекций1
- •2003 – 2004 Учебный год
- •Содержание
- •Лекция 1. Традиционные задачи линейной алгебры
- •Векторные и матричные нормы
- •Число обусловленности
- •Лекция 2. Прямые методы решения линейных уравнений Метод исключения Гаусса – схема единственного деления
- •Теорема об lu разложении
- •Разложение Холесского
- •Метод квадратного корня
- •Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения
- •–Ый шаг метода вращений
- •Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы
- •Совместность системы с вырожденной матрицей
- •Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы
- •Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей –разложение трехдиагональной матрицы :
- •Формулы метода прогонки для системы :
- •Асимптотическая скорость сходимости
- •Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя, Некрасова)
- •Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
- •Лекция 7. Функционал ошибки
- •Метод полной релаксации
- •Метод неполной релаксации
- •Метод минимальных невязок
- •Метод простой итерации
- •Оценки сходимости мнс и ммн
- •Лекция 9. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами Задача оптимизации параметров
- •Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
- •Циклический метод Ричардсона: формулы и сходимость
- •Об устойчивости метода Ричардсона
- •Трехчленные формулы реализации метода Ричардсона с чебышевскими параметрами
- •Лекция 10. Многошаговые методы. Вариационная оптимизация
- •Метод сопряженных градиентов
- •Переобуславливатель
- •Положительно определенные матрицы
- •Лекция 11. Проблема собственных значений
- •Корректность задачи на собственные значения
- •Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
- •Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
- •Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
- •Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
- •Идея метода бисекций вычисления
- •Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
- •Якобиевы матрицы
- •О вычислении чпз
- •О вычислении собственного вектора
- •Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
- •Выбор вращения
- •Сходимость собственных значений
- •Сходимость собственных векторов
- •Литература
Асимптотическая скорость сходимости
Сколько
нужно сделать итераций, чтобы ошибка
итерационного процесса
уменьшилась
в
раз:
.
Теорема. |
Если
,
то
|
Док–во. |
При
|
Средняя
скорость за
итераций:
(Доказать:
)
,
если
.
Асимптотическая
скорость сходимости:
.
Теорема. |
Если
|
Док–во. |
Из
док–ва теоремы о необходимом и
достаточном условии сходимости
Т.к.
|
Принято считать, что из двух итерационных процессов лучше тот, у которого асимптотическая скорость сходимости больше.
Но
использовать асимптотическую скорость
сходимости для оценки числа итераций,
необходимых для уменьшения начальной
ошибки в
раз, можно только в случае
.
Лекция 6.
Один из
способов построения итерационного
метода решения системы линейных
алгебраических уравнений
состоит из представления матрицы в виде
,
переписи системы в виде
и определении очередного приближения
по известному приближению
из решения системы
.
Доказать:
.
Метод Якоби
Если
,
то итерационный процесс
называется методом Якоби для решения системы .
Сходимость в случае диагонального преобладания по строкам
Теорема. |
Если
|
Док–во. |
i–тая
строка матрицы
|
Сходимость в случае диагонального преобладания по столбцам
Теорема. |
Если
|
Док–во. |
j–ый
столбец матрицы
|
Необходимое и достаточное условие сходимости метода Якоби в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
Теорема. |
Если
|
Док–во. |
1. собственные значения матрицы – вещественные:
2.
2.1.
т.к.
и
то
2.2.
|
Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя, Некрасова)
Если
матрицу системы
представить в виде суммы
,
где
то итерационный процесс
называется методом Зейделя для решения системы .
Доказать:
.
Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
Теорема. |
Если , то
|
Док–во. |
Необходимость: Пусть
,
но
(
Зададим
Достаточность. Докажем,
что
если
1.
2.
Из 1.–2. . Но, более того, т.к.
то
|