Лекция 1. Традиционные задачи линейной алгебры
Задачи: |
Методы (теория определителей): |
решение системы уравнений
|
метод Крамера:
|
вычисление обратной матрицы:
|
определение
столбца
|
вычисление определителя
|
по определению
|
спектральная задача:
|
собственные значения – корни полинома
собственные векторы – решения систем
r линейно независимых решений, где
|
матрицы
:
Непригодность этих методов:
количество умножений при вычислении одного определителя:
если
производительность ЭВМ
|
ошибки округления:
если
т.е. определитель вычисляется с большой ошибкой и, следовательно, решения поставленных задач вычисляются с такой же ошибкой. |
оп/сек, то
сек.
,
,
,
,
то
Векторные и матричные нормы
Векторные |
Матричные |
|||||||||
Примеры:
– кубическая или равномерная
– октаэдрическая
–сферическая или евклидова |
|
|||||||||
Теорема. |
Любые две нормы
|
Примеры:
|
и
в конечномерном пространстве
эквивалентны:
!!! Константы эквивалентности зависят от размерности пространства !!!
При решении
системы линейных уравнений
могут быть неточно заданы либо правая
часть
либо матрица
,
где компоненты вектора
и элементы матрицы
малы по сравнению с соответствующими
элементами исходных вектора и матрицы.
Тогда вместо решения
мы получим его приближение
,
причем компоненты вектора–ошибки
могут быть большими.
Оценим норму ошибки через нормы возмущений правой части и матрицы системы, считая, что матричная норма подчинена векторной норме.