![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •III семестр. Ммф нгу
- •Конспект лекций1
- •2003 – 2004 Учебный год
- •Содержание
- •Лекция 1. Традиционные задачи линейной алгебры
- •Векторные и матричные нормы
- •Число обусловленности
- •Лекция 2. Прямые методы решения линейных уравнений Метод исключения Гаусса – схема единственного деления
- •Теорема об lu разложении
- •Разложение Холесского
- •Метод квадратного корня
- •Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения
- •–Ый шаг метода вращений
- •Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы
- •Совместность системы с вырожденной матрицей
- •Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы
- •Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей –разложение трехдиагональной матрицы :
- •Формулы метода прогонки для системы :
- •Асимптотическая скорость сходимости
- •Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя, Некрасова)
- •Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
- •Лекция 7. Функционал ошибки
- •Метод полной релаксации
- •Метод неполной релаксации
- •Метод минимальных невязок
- •Метод простой итерации
- •Оценки сходимости мнс и ммн
- •Лекция 9. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами Задача оптимизации параметров
- •Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
- •Циклический метод Ричардсона: формулы и сходимость
- •Об устойчивости метода Ричардсона
- •Трехчленные формулы реализации метода Ричардсона с чебышевскими параметрами
- •Лекция 10. Многошаговые методы. Вариационная оптимизация
- •Метод сопряженных градиентов
- •Переобуславливатель
- •Положительно определенные матрицы
- •Лекция 11. Проблема собственных значений
- •Корректность задачи на собственные значения
- •Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
- •Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
- •Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
- •Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
- •Идея метода бисекций вычисления
- •Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
- •Якобиевы матрицы
- •О вычислении чпз
- •О вычислении собственного вектора
- •Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
- •Выбор вращения
- •Сходимость собственных значений
- •Сходимость собственных векторов
- •Литература
Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей –разложение трехдиагональной матрицы :
где (проверить)
-
.....
......
......
.......
Формулы метода прогонки для системы :
сначала вычисляем (рекуррентно):
и решаем систему с матрицей (прямой ход):
и, наконец,
решаем систему
(обратный ход):
.
Теорема. |
Если
(т.е. –разложение существует и метод прогонки применим). |
Док–во. |
(от
противного) Пусть
тогда
Разделим
равенство
|
Лекция 5. Итерационные методы решения линейных уравнений
Мы будем рассматривать только вещественные системы линейных алгебраических уравнений, так как система уравнений над полем комплексных чисел сводится (доказать) к системе
с вещественными коэффициентами.
Пример и основные определения
Пример:
пусть для
матрицы системы
построена обратная
.
Из–за ошибок округления мы получим не
обратную матрицу, а к ней близкую:
.
Тогда
,
а для разности
имеем уравнение
,
приближенное решение которого
или итерационное уточнение
.
Одношаговый (двухслойный) итерационный метод решения :
–
-тое
приближение (к решению системы),
– ошибка -той итерации |
– процесс для ошибки,
|
– невязка -той итерации |
– процесс для невязки,
|
Метод
называется сходящимся, если
.
(Так как
в
все нормы эквивалентны, то определение
сходимости от нормы не зависит.)
Стационарный одношаговый итерационный метод решения :
Впредь
мы будем предполагать, что
и
.
Условия сходимости стационарного итерационного метода
Достаточные условия:
Теорема. |
Если
|
Док–во. |
|
Теорема. |
Если
|
Док–во. |
|
Необходимое и достаточное условие:
Теорема. |
|
Док–во. |
Необходимость. Пусть
Так как
|
|
Достаточность. Если
докажем, что
то , т.е. метод сходится. Итак,
пусть
Пусть
Т.к.
|