- •III семестр. Ммф нгу
- •Конспект лекций1
- •2003 – 2004 Учебный год
- •Содержание
- •Лекция 1. Традиционные задачи линейной алгебры
- •Векторные и матричные нормы
- •Число обусловленности
- •Лекция 2. Прямые методы решения линейных уравнений Метод исключения Гаусса – схема единственного деления
- •Теорема об lu разложении
- •Разложение Холесского
- •Метод квадратного корня
- •Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения
- •–Ый шаг метода вращений
- •Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы
- •Совместность системы с вырожденной матрицей
- •Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы
- •Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей –разложение трехдиагональной матрицы :
- •Формулы метода прогонки для системы :
- •Асимптотическая скорость сходимости
- •Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя, Некрасова)
- •Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
- •Лекция 7. Функционал ошибки
- •Метод полной релаксации
- •Метод неполной релаксации
- •Метод минимальных невязок
- •Метод простой итерации
- •Оценки сходимости мнс и ммн
- •Лекция 9. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами Задача оптимизации параметров
- •Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
- •Циклический метод Ричардсона: формулы и сходимость
- •Об устойчивости метода Ричардсона
- •Трехчленные формулы реализации метода Ричардсона с чебышевскими параметрами
- •Лекция 10. Многошаговые методы. Вариационная оптимизация
- •Метод сопряженных градиентов
- •Переобуславливатель
- •Положительно определенные матрицы
- •Лекция 11. Проблема собственных значений
- •Корректность задачи на собственные значения
- •Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
- •Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
- •Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
- •Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
- •Идея метода бисекций вычисления
- •Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
- •Якобиевы матрицы
- •О вычислении чпз
- •О вычислении собственного вектора
- •Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
- •Выбор вращения
- •Сходимость собственных значений
- •Сходимость собственных векторов
- •Литература
Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
Предположим, что собственное значение и соответствующий ему собственный вектор (какой–то!) матрицы мы приближенно (например степенным методом) вычислили: , .
Построим симметричную положительно определенную матрицу , где матрица – ортогональный проектор на подпространство , ортогональное вектору .
Докажите, что спектр матрицы (т.е. , ) состоит из собственных значений матрицы и нуля (вектор принадлежит ее ядру).
Отсюда следует, что, если (а степенной метод такую сходимость гарантирует), то .
Следовательно, применяя степенной метод для матрицы , мы получим приближение к и – очередным собственным значению и вектору матрицы .
Эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока мы не получим все собственные значения.
Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
Для самосопряженной матрицы имеет место закон инерции:
если матрицу конгруэнтным преобразованием привести к диагональному виду: , где , то от матрицы (способа преобразования) не зависит
– количество отрицательных элементов,
– количество нулевых элементов,
– количество положительных элементов на диагонали .
Нам известно (из теоремы и алгоритма –разложения), что если все , то .
Следовательно, в этом случае за конечное число действий мы можем определить .
Матрица преобразованием подобия ортогональной матрицей (конгруэнтным преобразованием) из собственных векторов приводится к диагональному виду . Следовательно,
= количеству отрицательных,
= количеству нулевых,
= количеству положительных собственных значений матрицы ,
и, используя –разложение, мы можем эти числа определить.
Подытожим эти рассуждения в виде следующей леммы.
Лемма 1. |
Если матрица и , то количество ее отрицательных собственных значений
– число перемен знака. |
Док–во |
леммы оставляется в виде упражнения. |
Идея метода бисекций вычисления
, т.к. , т.е. все собственные значения матрицы лежат в этом интервале.
Определим в какой половине интервала лежит . Для этого вычислим – количество собственных значений меньших . Если , то , иначе .
Через таких шагов получим: , т.е. мы можем получить оценку искомого собственного числа с любой точностью.
Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
Как и раньше, через будем обозначать элементарную матрицу вращения, отличающуюся от единичной матрицы
двумя диагональными элементами: , и двумя внедиагональными элементами: , .
Выполним и
1–й шаг. |
Исключение элементов 1–го столбца матрицы , начиная с 3–его, с помощью последовательного умножения на унитарные матрицы : . |
2–й шаг. |
Исключение элементов 2–го столбца матрицы , начиная с 4–ого, с помощью последовательного умножения на унитарные матрицы : . |
… |
………………….. |
k–й шаг. |
Исключение элементов k–го столбца матрицы , начиная с (k+2)–ого, с помощью последовательного умножения на матрицы : . |
… |
………………….. |
(n–2)–й шаг. |
Исключение последнего элемента (n-2)–го столбца матрицы с помощью умножения на матрицу : . |
,
.
Если , то ,
т.е. поиск собственных значений самосопряженной матрицы сводится к задаче на собственные значения якобиевых трехдиагональных матриц.
Лемма 2. |
Самосопряженная матрица подобна трехдиагональной вещественной матрице. |
Док–во. |
Только что мы привели самосопряженную матрицу к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия: . Определим матрицу : (предполагая ) , , ... , . Тогда , . |