![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •III семестр. Ммф нгу
- •Конспект лекций1
- •2003 – 2004 Учебный год
- •Содержание
- •Лекция 1. Традиционные задачи линейной алгебры
- •Векторные и матричные нормы
- •Число обусловленности
- •Лекция 2. Прямые методы решения линейных уравнений Метод исключения Гаусса – схема единственного деления
- •Теорема об lu разложении
- •Разложение Холесского
- •Метод квадратного корня
- •Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения
- •–Ый шаг метода вращений
- •Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы
- •Совместность системы с вырожденной матрицей
- •Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы
- •Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей –разложение трехдиагональной матрицы :
- •Формулы метода прогонки для системы :
- •Асимптотическая скорость сходимости
- •Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя, Некрасова)
- •Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
- •Лекция 7. Функционал ошибки
- •Метод полной релаксации
- •Метод неполной релаксации
- •Метод минимальных невязок
- •Метод простой итерации
- •Оценки сходимости мнс и ммн
- •Лекция 9. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами Задача оптимизации параметров
- •Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
- •Циклический метод Ричардсона: формулы и сходимость
- •Об устойчивости метода Ричардсона
- •Трехчленные формулы реализации метода Ричардсона с чебышевскими параметрами
- •Лекция 10. Многошаговые методы. Вариационная оптимизация
- •Метод сопряженных градиентов
- •Переобуславливатель
- •Положительно определенные матрицы
- •Лекция 11. Проблема собственных значений
- •Корректность задачи на собственные значения
- •Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
- •Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
- •Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
- •Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
- •Идея метода бисекций вычисления
- •Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
- •Якобиевы матрицы
- •О вычислении чпз
- •О вычислении собственного вектора
- •Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
- •Выбор вращения
- •Сходимость собственных значений
- •Сходимость собственных векторов
- •Литература
Переобуславливатель
Для решения системы рассмотрим итерационный метод
,
где матрица
(переобуславливатель) эквивалентна по
спектру матрице
с постоянными
:
.
Теорема. |
|
Док–во. |
|
Следствие. |
т.к.
|
Теорема. |
|
Док–во. |
|
Положительно определенные матрицы
Теорема
1.
.
Теорема
2.
Теорема
3.
(т.к.
– разложение Холесского) – это критерий
Сильвестра положительной определенности
или положительности всех собственных
значений симметричной (самосопряженной)
матрицы.
Теорема
4.
Теорема
5.
– веществ. кососимметричная матрица
.
Теорема
6.
.
Доказать эти утверждения в качестве упражнений.
Построить
пример вещественной несимметричной,
но положительно определенной в
матрицы.
Лекция 11. Проблема собственных значений
Для матрицы
нужно найти числа
и ненулевые векторы
такие, что
:
– собственное значение,
– собственный вектор.
Корректность задачи на собственные значения
Известно, что все собственные значения матрицы являются корнями характеристического полинома
,
а
коэффициенты
– непрерывные функции элементов матрицы
.
Пусть
– матрица с “малыми” по величине
элементами,
– характеристический полином матрицы
.
Следствием непрерывности
как функции элементов матрицы
является
Лемма
1.
.
Лемма 2. |
В
любом круге на комплексной плоскости
с центром в точке
|
Док–во. |
Разложим в ряд Тейлора в точке :
Пусть
Так как
|
Лемма 3. |
Если
|
Док–во |
методом матиндукции по степени полинома.
Пусть
лемма верна при
Т.к.
и
|
Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
Идея
метода: для заданного вектора
рассмотрим его
–ю
итерацию
,
если
– собственные значения,
– соответствующие им собственные
векторы, то
где
– коэффициенты (неизвестные!)
разложения вектора по базису .
Итерационный процесс
называется степенным методом вычисления максимального собственного значения матрицы :
,
,
если
проекция начального вектора
на линейную оболочку собственных
векторов, соответствующих
,
не равна 0.
Док–во. Пусть
– собственные значения,
– собственные векторы матрицы
,
и
Тогда
и,
т.к.
,
,
то
,
.
Замечание. Сходимость степенного метода не зависит от выбора в нем векторной нормы, т.к. все нормы в эквивалентны.
Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
Задача
вычисления минимального собственного
значения матрицы
легко сводится к задаче вычисления
максимального собственного значения
матрицы
,
где
,
так как
.
Оценку
для
легко найти:
.
Тогда
итерационный процесс
называется
степенным методом вычисления минимального
собственного значения матрицы
:
,
если
проекция начального вектора
на линейную оболочку собственных
векторов, соответствующих
,
не равна 0.
Справедливость
этого утверждения является следствием
сходимости степенного метода вычисления
спектрального радиуса матрицы
.