Число обусловленности

Определение.

1. т.к.

2. т.к.

Теорема.
Док–во.	.

Теорема.
Док–во.	1. и , т.к. 2. Т.к. , то

Лекция 2. Прямые методы решения линейных уравнений Метод исключения Гаусса – схема единственного деления

Схема единственного деления на примере системы третьего порядка:

Прямой ход:	Матричная формулировка:
	,
Обратный ход:		Матричная формулировка:

Формулы схемы единственного деления (доказать):

k–ый шаг прямого хода: – верхняя треуг. матрица

Теорема об lu разложении

Если , то , где – нижняя, – верхняя треугольные матрицы.

Доказательство.

Если , то , ,

т.к. .

Предположим, что разложение найдено ( ). Вычислим

(т.е. последние строку матрицы и столбец матрицы ):

т.к.

то – системы с треугольными неособенными матрицами (решения ), и

,

очевидно, что решение этого уравнения существует, но не единственно.

(так как , то .)

И, наконец, .

Объем вычислений.

Так как для решения системы уравнений с треугольной матрицей порядка достаточно выполнить умножений и делений, то полагая на каждом шаге , получим, что число таких операций для вычисления последних строки и столбца матриц и равно , а для вычисления матриц и достаточно умножений или делений.

Замечание.

Если построено –разложение матрицы , то ее определитель вычисляется за умножений (перемножаются диагональные (ведущие) элементы).

Теорема (об – разложении). Если , то разложение , где , единственно.

Док–во. Пусть , тогда , (т.к. – нижняя треуг. м–ца с единицами на диагонали) .

Разложение Холесского

Теорема.	Если (т.е. ), то , .
Док–во.	Т.к. , то . Т.к. , то .

Метод квадратного корня

Теорема.	Если , то , где – нижняя треугольная м–ца, и .
Док–во.	Из теоремы о разложении Холесского имеем . Т.к. , то . Аналогично . .

Решение системы уравнений с помощью разложения называется методом квадратного корня. Так как

то элементы матрицы B вычисляются по следующим формулам:

Лекция 3.

Метод исключения с выбором главного элемента по столбцу

Напомним 1–ый шаг схемы единственного деления для решения :

,

где , .

Эти операции выполнимы, если (главный элемент шага) .

Ошибки округления будут меньше, если или .

Матрица перестановок

, где – перестановка .

Доказать, что , т.е. – ортогональная матрица.

Доказать, что .

Элементарная матрица перестановок

– матрица перестановок и элементов в –ке .

Доказать, что .

Доказать, что умножение на матрицу матрицы слева ( ) – это перестановка и строк, справа ( ) –перестановка и столбцов матрицы .

Выбор главного элемента по столбцу.

1–й шаг:

находим ( , если ); меняем местами 1 и строки: ; обнуляем в 1–ом столбце элементы: , , .

После шагов имеем , где , если

( )–й шаг:

находим ; меняем местами и строки: , ; обнуляем в ( )–ом столбце элементы: , , : . .

Очевидно, что, если , то выполнив шаг, получим систему с верхней треугольной матрицей: .

Теорема.

Если , то , где , ,

Доказать эту теорему в качестве упражнения, проверив, что матрицы и имеют одинаковую структуру.