Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения

Предположим, что собственное значение и соответствующий ему собственный вектор (какой–то!) матрицы мы приближенно (например степенным методом) вычислили: , .

Построим симметричную положительно определенную матрицу , где матрица – ортогональный проектор на подпространство , ортогональное вектору .

Докажите, что спектр матрицы (т.е. , ) состоит из собственных значений матрицы и нуля (вектор принадлежит ее ядру).

Отсюда следует, что, если (а степенной метод такую сходимость гарантирует), то .

Следовательно, применяя степенной метод для матрицы , мы получим приближение к и – очередным собственным значению и вектору матрицы .

Эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока мы не получим все собственные значения.

Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)

Для самосопряженной матрицы имеет место закон инерции:

если матрицу конгруэнтным преобразованием привести к диагональному виду: , где , то от матрицы (способа преобразования) не зависит

• – количество отрицательных элементов,

• – количество нулевых элементов,

• – количество положительных элементов на диагонали .

Нам известно (из теоремы и алгоритма –разложения), что если все , то .

Следовательно, в этом случае за конечное число действий мы можем определить .

Матрица преобразованием подобия ортогональной матрицей (конгруэнтным преобразованием) из собственных векторов приводится к диагональному виду . Следовательно,

• = количеству отрицательных,

• = количеству нулевых,

• = количеству положительных собственных значений матрицы ,

и, используя –разложение, мы можем эти числа определить.

Подытожим эти рассуждения в виде следующей леммы.

Лемма 1.	Если матрица и , то количество ее отрицательных собственных значений – число перемен знака.
Док–во	леммы оставляется в виде упражнения.

Идея метода бисекций вычисления

, т.к. , т.е. все собственные значения матрицы лежат в этом интервале.

Определим в какой половине интервала лежит . Для этого вычислим – количество собственных значений меньших . Если , то , иначе .

Через таких шагов получим: , т.е. мы можем получить оценку искомого собственного числа с любой точностью.

Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения

Как и раньше, через будем обозначать элементарную матрицу вращения, отличающуюся от единичной матрицы

двумя диагональными элементами: , и двумя внедиагональными элементами: , .

Выполним и

1–й шаг.	Исключение элементов 1–го столбца матрицы , начиная с 3–его, с помощью последовательного умножения на унитарные матрицы : .
2–й шаг.	Исключение элементов 2–го столбца матрицы , начиная с 4–ого, с помощью последовательного умножения на унитарные матрицы : .
…	…………………..
k–й шаг.	Исключение элементов k–го столбца матрицы , начиная с (k+2)–ого, с помощью последовательного умножения на матрицы : .
…	…………………..
(n–2)–й шаг.	Исключение последнего элемента (n-2)–го столбца матрицы с помощью умножения на матрицу : .

,

.

Если , то ,

т.е. поиск собственных значений самосопряженной матрицы сводится к задаче на собственные значения якобиевых трехдиагональных матриц.

Лемма 2.	Самосопряженная матрица подобна трехдиагональной вещественной матрице.
Док–во.	Только что мы привели самосопряженную матрицу к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия: . Определим матрицу : (предполагая ) , , ... , . Тогда , .