1.1. Последовательный колебательный контур

Рис. 1. Последовательный

колебательный контур

Рассмотрим последовательный колебательный контур, схема которого приведена на рис. 1. Его комплексное сопротивление определяется выражением

.

(1)

Резонансной частотой контура ₀ называют частоту, на которой реактивная составляющая x = Im(Z) его полного сопротивления обращается в ноль. Как следует из выражения (1), резонансная частота последовательного контура равна

,

(2)

а реактивные сопротивления индуктивности и емкости на этой частоте совпадают ₀L = 1/₀C. Значения реактивных сопротивлений на частоте резонанса называют характеристическим сопротивлением контура:

.

(3)

Пусть напряжение на зажимах контура имеет вид

.

Если амплитуда напряжения U не изменяется, амплитуда тока в контуре на резонансной частоте имеет наибольшее значение, равное I = U/R и не зависящее от значений реактивных сопротивлений. Если характеристическое сопротивление контура  превосходит по значению его активное сопротивление r, то напряжения на зажимах реактивной катушки и конденсатора могут превосходить (иногда – весьма значительно) напряжение на зажимах цепи. Поэтому резонанс при последовательном соединении называют резонансом напряжений.

Добротностью контура называют отношение

,

(4)

где W₀ – энергия, запасенная в контуре на резонансной частоте; W_r – энергия, рассеиваемая в контуре за период колебания. Для последовательного контура при токе рассеянная на активном сопротивлении энергия составляет

,

где T₀ = 2/₀. Запасенная в контуре энергия складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки, то есть

.

Таким образом, добротность контура равна

.

Еще одной величиной, характеризующей резонансные свойства контура, является его декремент затухания – величина, обратная добротности  = 1/Q.

При произвольной частоте гармонического напряжения u(t) мгновенные мощности на зажимах катушки и конденсатора составляют:

.

Поскольку при резонансе U_L = U_C, эти мощности в любой момент времени равны и противоположны по знаку. Это значит, что происходит обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора. Энергия переходит из конденсатора в катушку в течение четверти периода, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению убывает, а ток по абсолютному значению возрастает. В течение следующей четверти периода, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению растет, а ток по абсолютному значению убывает, энергия переходит обратно из катушки в конденсатор. Источник энергии, питающий цепь, только покрывает расход энергии на участке с сопротивлением R.

Рис. 2. Зависимость полного сопротивления z, реактивного сопротивления x и сдвига фаз  между током и напряжением от частоты для последовательного контура

Зависимости полного z и реактивного сопротивлений x цепи и сдвига фаз  между током и напряжением от частоты для последовательного колебательного контура приведены на рис. 2. Заметим что на частоте резонанса происходит изменение характера реактивного сопротивления – если при  < ₀ реактивное сопротивление имеет емкостной характер (x < 0,  < 0), то при  > ₀ оно принимает индуктивный характер (х > 0,  > 0).

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) последовательного контура называют зависимость амплитуды тока, нормированной на максимальное значение, от частоты при постоянной амплитуде напряжения U, то есть

.

(5)

Ширина резонансной кривой  определяется обычно по уровню от максимального значения. В окрестности резонансной частоты можно приближенно считать   ₀ :

и представить выражение (5) в виде

,

(6)

который позволяет получить простую оценку ширины резонансной кривой (в случае высокой добротности Q >> 1)

.

(7)

Типичный вид АЧХ последовательного контура показан на рис. 3.